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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a1^{\mathrm{a}} y 2a2^{\mathrm{a}} se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^{\mathrm{a}} y 4a4^{\mathrm{a}} sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)=xx2−4+ln⁡(x+1)x+1, f(x) = \frac{x}{x^2 - 4} + \frac{\ln(x + 1)}{x + 1}, donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano, se pide:
a
Determinar el dominio de ff y sus asíntotas.1,5 pts
b
Calcular la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en x=0x = 0.0,75 pts
c
Calcular ∫f(x) dx\int f(x) \, dx.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
a
Discutir, según los valores de mm, el sistema de ecuaciones siguiente:{4x+3y+(m−1)z=0x−2y+mz=15x+my+z=1 \begin{cases} 4x + 3y + (m - 1)z = 0 \\ x - 2y + mz = 1 \\ 5x + my + z = 1 \end{cases} 2 pts
b
Resolver el sistema anterior para el caso m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Dados los vectores u⃗=(2,3,4)\vec{u} = (2, 3, 4), v⃗=(−1,−1,−1)\vec{v} = (-1, -1, -1) y w⃗=(−1,λ,−5)\vec{w} = (-1, \lambda, -5), encontrar los valores de λ\lambda que hacen que el paralelepípedo PP generado por u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} y w⃗\vec{w} tenga volumen 6.1 pt
b
Obtener la ecuación de la recta incluida en el plano z=0z = 0, con dirección perpendicular a u⃗=(2,−1,4)\vec{u} = (2, -1, 4) y que pasa por el punto (1,1,0)(1, 1, 0).1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el plano π≡x−2y+2z+1=0\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0 y la superficie esférica (x−1)2+(y−1)2+(z−2)2=9(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 9, hallar los planos tangentes a la esfera que son paralelos al plano π\pi.
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dados el punto P(−4,6,6)P(-4, 6, 6), el origen de coordenadas OO y la recta r≡{x=−4+4λy=8+3λz=−2λr \equiv \begin{cases} x = -4 + 4\lambda \\ y = 8 + 3\lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}, se pide:
a
Determinar un punto QQ de la recta rr, de modo que su proyección Q′Q' sobre OP‾\overline{OP} sea el punto medio de este segmento.1 pt
b
Determinar la distancia de PP a rr.1 pt
c
¿Existe algún punto RR de la recta rr, de modo que los puntos OO, PP y RR estén alineados? En caso afirmativo, encontrar el punto (o los puntos) con esa propiedad; en caso negativo, justificar la no existencia.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función:f(x)={sen⁡xx,si x<0xex+1,si x≥0 f(x) = \begin{cases} \frac{\operatorname{sen} x}{x}, & \text{si } x < 0 \\ xe^x + 1, & \text{si } x \geq 0 \end{cases} se pide:
a
Estudiar la continuidad de ff.1 pt
b
Estudiar la derivabilidad de ff y calcular f′f' donde sea posible.1 pt
c
Calcular ∫13f(x) dx\int_{1}^{3} f(x) \, dx.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dadas las matrices:A=(001010100),B=(300030003), A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, se pide:
a
Calcular A15A^{15} y A20A^{20}.1 pt
b
Resolver la ecuación matricial 6X=B−3AX6X = B - 3AX, donde XX es una matriz cuadrada de orden 3.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dadas las matrices A=(1230t23−1t)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & t & 2 \\ 3 & -1 & t \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Hallar el rango de AA en función de tt.1,25 pts
b
Calcular tt para que det⁡(A−tI)=0\det(A - tI) = 0.0,75 pts
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