Practica por temas

Estudie la posición relativa de las rectas:

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $b > 0$ y que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ es derivable. ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Determina la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que es derivable, que su función derivada cumple $$f'(x) = \frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano) y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 0)$.

Sean los puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 0, 1)$, $C(0, 1, -2)$ y $D(1, 2, 0)$.

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ e^x - e^{-x} - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es continua, alcanza un máximo relativo en $x = -1$ y la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$ tiene pendiente $2$.