Practica por temas

Estudia la continuidad en $\mathbb{R}$ de la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{\cos^2(\pi x) - 1}{1 - x} & x < 1 \\ \ln(x \cdot e^{x + 1}) - 2x & x \geq 1 \end{cases}$$

Calcula $a$ sabiendo que $\lim_{x \to +\infty} \frac{ax}{(\ln x)^3 + 2x} = 1$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

En una población, la proporción de personas infectadas por una determinada enfermedad en función del tiempo, $I(t)$, viene dada por la función $$I(t) = \begin{cases} k e^{2t} & \text{si } t < 1 \\ \frac{t^2}{3t^2 + 1} & \text{si } t \geq 1 \end{cases}$$ siendo $k$ una constante real, $t$ el tiempo en años desde el inicio de la epidemia y $t = 1$ el inicio de la vacunación.