Practica por temas

Tres números $x, y, z$ cumplen lo siguiente: • El primero de ellos, $x$, es la suma de los otros dos. • El segundo, $y$, es la mitad del primero más el triple del tercero.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + (a + 4)y + (a + 1)z = 0 \\ -(a + 2)y + (a^2 + 3a + 2)z = a + 4 \end{cases}$$

Considera la función $f : [0, 4] \to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\sen(x) - ax + 2 - 2\cos(x)}{e^x - x\cos(x) - 1}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media $65$ puntos y desviación típica $18$ puntos. El $15\%$ del alumnado está en el nivel avanzado, el $65\%$ en el nivel medio y el $20\%$ restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas: