Practica por temas

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependientes del parámetro real $m$: $$\begin{cases} x - 2my + z = 1 \\ mx + 2y - z = -1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$$

La suma de los seguidores en una determinada red social de Alberto, Begoña y Carlos es de $13000$ personas. Aunque Carlos perdiera una tercera parte de sus seguidores, todavía seguiría teniendo el doble de seguidores que tiene Alberto. Por otro lado, los seguidores de Alberto más la quinta parte de los seguidores de Begoña, son tantos como la mitad de los de Carlos. Calcula cuántos seguidores tiene cada uno.

Las edades de Juan, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: la suma de las edades de Juan, su padre y el doble de la del abuelo es 182 años; el doble de la edad de Juan más la del abuelo es 100 años, y la de su padre es $k$ veces la de Juan.

En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función $t \to P(t)$, $$P(t) = \sqrt{t + 1} - \sqrt{t},$$ donde la variable $t$, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000 y $P(t)$ indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo $t$.

Una fábrica dispone de tres líquidos $L_1, L_2$ y $L_3$, en los que se encuentran disueltas dos sustancias: sodio y magnesio. Cada litro del líquido $L_1$ contiene $120$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio, cada litro del líquido $L_2$ contiene $100$ mg de sodio y $90$ mg de magnesio y cada litro del líquido $L_3$ contiene $60$ mg de sodio y $180$ mg de magnesio. ¿Es posible obtener un litro de un líquido mezclando distintas cantidades de $L_1, L_2$ y $L_3$ en el que la cantidad de sodio y de magnesio sea de $100$ mg cada una? En caso afirmativo, calcula dichas cantidades.