Practica por temas

Calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^2 + b \ln(x)$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano, tiene un extremo relativo en $x = 1$ y que $$\int_{1}^{4} f(x) dx = 27 - 8 \ln(4)$$

Sea $f : (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ la función dada por $f(x) = \ln(x)$ (ln representa logaritmo neperiano).

Explicar brevemente en qué consiste el método de integración por partes, y aplicarlo para el cálculo de la integral indefinida que sigue: $$\int (2x + 3) \sen(5x + 7) \, dx$$

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientes características: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de $100\,\text{cm}^2$, el margen superior tiene que ser de $2\,\text{cm}$, el inferior de $3\,\text{cm}$ y los laterales de $5\,\text{cm}$ cada uno. Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menor cantidad de papel posible.