Practica por temas

En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El $80\%$ corresponde al coche de tipo A, el $10\%$ al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas que están defectuosos en los siguientes porcentajes: el $10\%$ de A, el $20\%$ de B y el $5\%$ de C. Se elige una pieza al azar. Calcula:

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (m^2 - 3m)x - my + 2mz = 3 \\ (m^2 - 3m)x + 3y + 3mz = m + 9 \\ (3m - m^2)x + my - mz = 0 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Calcula $\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)} \, dx$.

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de $\frac{200}{\pi}$ metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de $10$ euros por metro lineal, y en los tramos circulares de $20$ euros por metro lineal, calcula las dimensiones $a$ y $b$ del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Sea $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$. Encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$ de forma que la gráfica de $f$ contenga al punto $(0, 1)$ y las rectas tangentes a $f$ en los puntos $x = 0$ y $x = 1$ sean ambas paralelas a la recta $y = 3x + 5$.