Practica por temas

Calcula el dominio y las asíntotas de las siguientes funciones $$f(x) = \frac{\sqrt{2x} - x}{x - 2}, \qquad g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4x + 4}$$

En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola $y = -x^2 + 3$. Determina las dimensiones del rectángulo para que su área sea máxima.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} a \sqrt{x} + bx & \text{si } 0 \leq x \leq 1 \\ c \ln x & \text{si } 1 < x \end{cases}$. Hallar $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f(x)$ es continua en $(0, \infty)$, la recta tangente a $f(x)$ en el punto de abscisa $x = \frac{1}{16}$ es paralela a la recta $y = -4x + 3$, y se cumple que $\int_{1}^{e} f(x) dx = 2$.

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \sen(x)}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.