Practica por temas

Con objeto de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1\,\text{dm}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.

Con una cuerda de $2$ metros queremos construir un cuadrado de lado $l$ y un círculo de radio $r$ de modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir $l$ y $r$?

Halla los coeficientes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene en $x = 1$ un punto de derivada nula que no es extremo relativo y que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(1, 1)$.

Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} 2x + 4y = 4k \\ -k^3x + k^2y + kz = 0 \\ x + ky = k^2 \end{cases}$$ se pide:

Halla el punto simétrico del punto $A(0, 2, 3)$ respecto al plano $\pi$ de ecuación $x + y - z = 4$.