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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El estudiante deberá resolver CUATRO de los 8 ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Solo se permite el uso de calculadoras indicadas en la información de las pruebas.

Ejercicio 1

1
Se considera el sistema de ecuaciones lineales {ax+2y+z=12x+ay+z=a5x+2y+z=1\begin{cases} ax + 2y + z = 1 \\ 2x + ay + z = a \\ 5x + 2y + z = 1 \end{cases} con a∈Ra \in \mathbb{R}
a
Discute el sistema de ecuaciones según los valores de aa, e identifica el número de soluciones en cada caso.
b
Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para a=1a = 1.
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Ejercicio 2

2
Con objeto de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de 1 dm31\,\text{dm}^3 (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.
Prisma de base cuadrada con dimensiones x, x e y
a
Determina la función de la superficie del envase en función de xx (incluidas las dos bases).
b
Calcula, razonadamente, los valores de xx e yy, para que la superficie sea mínima.
c
Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 55 euros/dm2\text{dm}^2.
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Ejercicio 3

3
Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene los extremos en los puntos de coordenadas A(2,−1,3)A(2, -1, 3) y B(−2,4,5)B(-2, 4, 5).
a
Determina la ecuación de la recta que representa la viga.
b
¿Cuál es la longitud de la viga?
c
Carla quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos AA, BB y C(0,0,1)C(0, 0, 1). Determina el área de la placa triangular.
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Ejercicio 4

4
a
Calcula el siguiente límite: lim⁡x→+∞ex−1x2+3\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3}.
b
Estudia el rango de la matriz A=(10102021a101)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} en función de los valores del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.
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Ejercicio 5

5
a
Calcula la siguiente integral: I=∫x2x+3 dxI = \int x \sqrt{2x + 3} \, dx. Puedes utilizar el cambio de variable t=2x+3t = \sqrt{2x + 3}.
b
Sean los vectores u⃗=(1,a,a)\vec{u} = (1, a, a) y v⃗=(−1,0,2)\vec{v} = (-1, 0, 2), con a∈Ra \in \mathbb{R}. Determina el valor de aa para que el ángulo entre los vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} sea de 60∘60^\circ.
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Ejercicio 6

6
a
Calcula los coeficientes a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} de la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2 y un punto de inflexión en el punto P(1,2)P(1, 2). Justifica tu respuesta.
b
Sean los sucesos AA y BB tales que P(A)=0,2P(A) = 0{,}2, P(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1, P(A∪B)=0,3P(A \cup B) = 0{,}3. Calcula:
b.1
P(B)P(B) y P(A∩B‾)P(A \cap \overline{B}), con B‾\overline{B} el suceso complementario de BB.
b.2
P(A/B)P(A/B) y P(B/A)P(B/A).
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Ejercicio 7

7
a
Sea la matriz A=(a110)A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} con a∈Ra \in \mathbb{R}. ¿Existe algún valor de aa para que la matriz AA y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.
b
Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto A(1,0,0)A(1, 0, 0) y que es perpendicular a los vectores u⃗=(1,2,1)\vec{u} = (1, 2, 1) y v⃗=(1,0,0)\vec{v} = (1, 0, 0).
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Ejercicio 8

8
a
En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60%60\% juega al tenis, el 25%25\% practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21%21\% de los socios que juegan al tenis, el 30%30\% de los que practican natación y el 12%12\% de los que practican golf.
a.1
Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.
a.2
Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.
b
El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km5\,\text{km} sigue una distribución normal de media 6060 minutos y una desviación típica de 88 minutos.
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 5050 minutos?
b.2
¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 5050 y 6666 minutos?
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