Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2024

Discute el sistema de ecuaciones según los valores de $a$, e identifica el número de soluciones en cada caso.

Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para $a = 1$.

Determina la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).

Calcula, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.

Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de $5$ euros/$\text{dm}^2$.

Determina la ecuación de la recta que representa la viga.

¿Cuál es la longitud de la viga?

Carla quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos $A$, $B$ y $C(0, 0, 1)$. Determina el área de la placa triangular.

Calcula el siguiente límite: $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3}$.

Estudia el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ en función de los valores del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

Calcula la siguiente integral: $I = \int x \sqrt{2x + 3} \, dx$. Puedes utilizar el cambio de variable $t = \sqrt{2x + 3}$.

Sean los vectores $\vec{u} = (1, a, a)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 2)$, con $a \in \mathbb{R}$. Determina el valor de $a$ para que el ángulo entre los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sea de $60^\circ$.

Calcula los coeficientes $a, b, c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en el punto $P(1, 2)$. Justifica tu respuesta.

Sean los sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}2$, $P(A \cap B) = 0{,}1$, $P(A \cup B) = 0{,}3$. Calcula:

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ con $a \in \mathbb{R}$. ¿Existe algún valor de $a$ para que la matriz $A$ y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto $A(1, 0, 0)$ y que es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 0)$.

En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El $60\%$ juega al tenis, el $25\%$ practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el $21\%$ de los socios que juegan al tenis, el $30\%$ de los que practican natación y el $12\%$ de los que practican golf.

El tiempo que una persona sana invierte en recorrer $5\,\text{km}$ sigue una distribución normal de media $60$ minutos y una desviación típica de $8$ minutos.