Practica por temas

Sea la función $f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(1, 1)$. (Sugerencia: cambio de variable $t = e^x$).

Se dan las rectas $r_1: \begin{cases} x = 1 + 2\alpha \\ y = \alpha \\ z = 2 - \alpha \end{cases}$ y $r_2: \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 + \beta \\ z = -1 - 2\beta \end{cases}$, siendo $\alpha$ y $\beta$ parámetros reales. Calcular razonadamente:

Calcula las siguientes integrales:

Queremos construir un marco rectangular de madera que delimite un área de $2\,\text{m}^2$. Sabemos que el precio de la madera es de $7{,}5$ €/m para los lados horizontales y de $12{,}5$ €/m para los lados verticales. Determine las dimensiones que debe tener el rectángulo para que el coste total del marco sea el mínimo posible. ¿Cuál es este coste mínimo?

Sea la función $f(x) = x + 2\sqrt{x}$.