Practica por temas

Considere los puntos $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, -1, 0)$ y $C = (0, -2, 1)$.

Halla cada uno de los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ y - z = 0 \end{cases}$ de manera que junto con los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 1)$ y $C(0, 1, 1)$ formen un tetraedro de volumen $\frac{5}{6}$.

Los puntos $P \equiv (2, -2, 1)$, $Q \equiv (-1, -2, 1)$ y $R \equiv (3, 0, 3)$ son tres vértices de un rombo. Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el centro del rombo y es perpendicular al plano que contiene al rombo.

Dadas las rectas $r$ y $s$: $$r \equiv \begin{cases} x + y - z = 1 \\ 4x - 2y + 2z = 10 \end{cases}, \qquad s \equiv \frac{x + 3}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 1}{3}$$ y el plano $\pi \equiv x + y - z + 6 = 0$. Hallar la posición relativa entre:

Un segmento de longitud $l$ se apoya en los ejes coordenados del primer cuadrante determinando con ellos un triángulo rectángulo. Hallar el valor mínimo de la abcisa en que se apoya para que el área del triángulo mencionado, de hipotenusa $l$, sea máximo.