Practica por temas

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Mediante integración por partes, demuestra que ∫ ln x dx = x(ln x − 1) + C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación. b) Si f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; ax + b si x ∈ (e, ∞)}, di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable. c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x = 4 y la gráfica de f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; x/e si x ∈ (e, ∞)}.

Dadas las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 - m & -1 \\ 2 & 2m \\ m - 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Considera $A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$ y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

Considera la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \\ e^x - e^{-x} - 2x & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es continua, alcanza un máximo relativo en $x = -1$ y la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -2$ tiene pendiente $2$.