Practica por temas

Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a + b \operatorname{sen}(x) + c \operatorname{sen}(2x)$ tiene un punto crítico en el punto de abscisa $x = \pi$ y la recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Se sabe que la suma de los cuadrados de dos números positivos $A$ y $B$ vale $32$. Calcular dichos números para que su producto $A \cdot B$ sea máximo.

En un cine hay 3 salas y un total de 250 espectadores repartidos de la siguiente manera: 100 espectadores en la sala A, 50 en la sala B y 100 en la sala C. Se sabe que la película de la sala A gusta al 80% de los espectadores, la de la sala B al 20% de los espectadores y la de la sala C al 60% de los espectadores. A la salida de las tres películas se elige un espectador al azar.

Se dispone de un hilo metálico de longitud $140$ m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que la longitud de uno de los trozos sea el doble de la longitud de otro y tal que, al construir con cada uno de los tres trozos de hilo un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.