Practica por temas

Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1% de la población adulta. Se sabe que, la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95%, y la especificidad de la prueba (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98%. Se selecciona al azar un individuo de la población:

Explicar en qué consiste el método de integración por partes y aplicarlo para calcular las siguientes integrales $$\int x \ln(x) \, dx \quad \text{y} \quad \int x \cos(2x) \, dx$$

Calcule una primitiva $F(x)$ de la función $$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - e^{-x} + 2x \cos(x^2)$$ que cumpla $F(0) = 0$.

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{3}$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x - 1) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Se sabe que la gráfica de $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x}$ tiene una recta tangente horizontal en el punto $P(2, 4)$. Hallar los valores de $a$ y $b$.