Practica por temas

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = -x^2 + 12$ y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de $\alpha$, y resuélvelo cuando tenga solución única: $$\begin{cases} \alpha x + y = \alpha \\ (\alpha + 1)x + y + z = \alpha + 3 \\ y + z = 2 \end{cases}$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}$$

Consideramos la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx \cos(\pi x)$, que depende de los parámetros $a, b, c$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Se quiere construir un depósito de chapa abierto superiormente con forma de prisma recto de base cuadrada, de $1000\,\text{m}^3$ de capacidad, lo más económico posible. Sabiendo que: - El coste de la chapa usada para los laterales es de 100 euros el metro cuadrado. - El coste de la chapa usada para la base es de 200 euros el metro cuadrado. ¿Qué dimensiones debe tener el depósito? ¿Cuál es el precio de dicho depósito?