Practica por temas

Se considera la función $f(x) = e^{\frac{1}{\sen x + \cos x}}$.

Demuestra que existe $\alpha \in (2, 3)$ tal que $f(\alpha) = -\frac{3}{2}$, siendo $$f(x) = \cos(\pi x) \sqrt[3]{x^3 - 2x^2 - 1}$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

El test de inteligencia (CI) es una prueba que en teoría mide la inteligencia del individuo y da un valor que aproximadamente tiene de media 100. O sea, el nivel 100 se supone que es el nivel de inteligencia de una persona normal. Supongamos ahora que el nivel de inteligencia de una determinada población sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 10.

Demuestre que existe un único valor $x > 0$ solución de la ecuación $x^2 - e^{-x} = 0$.

Calcule los valores del parámetro $\alpha$ para los que la matriz $M$ no tiene inversa. Calcule la matriz inversa de $M$ para $\alpha = 2$, si es posible. $$M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & \alpha & 3 \\ 4 & 1 & -\alpha \end{pmatrix}$$