Practica por temas

Utilizando el teorema de Bolzano y de Rolle, pruebe que la ecuación $\tg x = 2x$ tiene una única raíz real en el intervalo $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$.

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el $45\%$ son de la marca $C_1$, el $30\%$ de la marca $C_2$ y el $25\%$ de la marca $C_3$. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: $0{,}02$ si es de la marca $C_1$, $0{,}05$ si es de la marca $C_2$ y $0{,}04$ si es de la marca $C_3$.

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$. a) Calcula la primitiva de $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto $(5, 0)$. (1,25 puntos) b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. (1,25 puntos)

Sabiendo que $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(x + 1) - a \operatorname{sen}(x) + x \cos(3x)}{x^2}$$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite. (ln denota logaritmo neperiano).

Determina la función $f \colon (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = \frac{1}{x}$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 1)$.