Practica por temas

El propietario de la empresa “Asturfabril” ha estimado que si compra “$x$” máquinas y contrata “$y$” empleados, el número de unidades de producto que podía fabricar vendría dado por la función $f(x, y) = 9x \cdot y^2$. Sabiendo que tiene un presupuesto de $22500$ €, que cada máquina supone una inversión de $2500$ € y cada contrato de un nuevo empleado $1500$ €, determine el número de obreros que debe contratar y el número de máquinas que debe comprar para optimizar la producción.

Halla el valor de $a$ para que la función $f(x) = \frac{x^2 + x + a}{3x + 1}$ verifique $f'(1) = 0$.

Discuta, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} mx + y + z = 2m \\ mx + (m + 1)y + z = 1 \\ mx + (m + 1)y + 2z = m + 1 \end{cases}$$

Discute el siguiente sistema de ecuaciones, según el valor de $\alpha$, y resuélvelo cuando tenga solución única: $$\begin{cases} \alpha x + y = \alpha \\ (\alpha + 1)x + y + z = \alpha + 3 \\ y + z = 2 \end{cases}$$

La suma de las edades de Carmela, Esperanza y Aurora es 68 años. La edad de Carmela es 5 años más que la mitad de la suma de las edades de Esperanza y Aurora. Además, dentro de 4 años la edad de Aurora será la edad que actualmente tiene Esperanza. Calcule las edades de cada una de ellas.