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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2017Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2017

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sean AA y BB dos matrices cuadradas de orden 3 tales que A2=−A−IA^2 = -A - I y 2B3=B2B^3 = B, siendo I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La justificación de que la matriz AA es invertible y el cálculo de la matriz A3A^3 en función de AA y de II.4 pts
b
Los valores posibles del determinante de BB.3 pts
c
El valor del determinante de la matriz B2B^2, sabiendo que la matriz BB tiene inversa.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan la recta r:{x−2y−2z=1x+3y−z=1r: \begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 3y - z = 1 \end{cases} y el plano π:2x+y+mz=n\pi: 2x + y + mz = n. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los valores de mm y nn para los que la recta rr y el plano π\pi se cortan en un punto.3 pts
b
Los valores de mm y nn para los que la recta rr y el plano π\pi no se cortan.3,5 pts
c
Los valores de mm y nn para los que la recta rr está contenida en el plano π\pi.3,5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se consideran las curvas y=x3y = x^3, y=axy = ax y la función f(x)=x3−axf(x) = x^3 - ax, siendo aa un parámetro real y a>0a > 0. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
Los puntos de corte de la curva y=f(x)y = f(x) con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función ff.3 pts
b
La gráfica de la función ff cuando a=9a = 9.3 pts
c
Calcular, en función del parámetro aa, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas y=x3y = x^3 e y=axy = ax, cuando a>1a > 1.2 pts
d
El valor del parámetro aa para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la curva y=x3y = x^3, el eje OXOX y las rectas x=0x = 0 y x=2x = 2.2 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se consideran las matrices A=(00−1010100)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} e I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
La justificación de que AA tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa A−1A^{-1}.4 pts
b
La justificación de que A4=IA^4 = I.2 pts
c
El cálculo de las matrices A7A^7, A30A^{30} y A100A^{100}.4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Se dan la recta r:x−14=ya=z−1−1r: \frac{x - 1}{4} = \frac{y}{a} = \frac{z - 1}{-1} y el plano π:2x−y+bz=0\pi: 2x - y + bz = 0, siendo aa y bb dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El punto de intersección de la recta rr y el plano π\pi cuando a=−b=1a = -b = 1.2,5 pts
b
La distancia entre la recta rr y el plano π\pi cuando a=b=4a = b = 4.2,5 pts
c
La posición relativa de la recta rr y del plano π\pi en función de los valores de los parámetros aa y bb.5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se considera el triángulo TT de vértices O=(0,0)O = (0,0), A=(x,y)A = (x,y) y B=(0,y)B = (0,y) siendo x>0x > 0, y>0y > 0 y tal que la suma de las longitudes de los lados OAOA y ABAB es 3030 metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a
El área del triángulo TT en función de xx.3 pts
b
El valor de xx para el que dicha área es máxima.5 pts
c
El valor de dicha área máxima.2 pts
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