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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAsturiasPAU 2025Ordinaria

Matemáticas CCSS · Asturias 2025

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
La velocidad de una montaña rusa, medida en km/h, durante los 20 primeros segundos del recorrido se puede aproximar por la siguiente función: f(x)={−12x2+7xsi 0≤x≤12−1108x3+32x2−34x+220si 12<x≤20 f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 7x & \text{si } 0 \leq x \leq 12 \\ -\frac{1}{108}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 34x + 220 & \text{si } 12 < x \leq 20 \end{cases} donde xx representa el tiempo (en segundos) desde la salida.
a)1 pts
¿En qué intervalos de tiempo la velocidad aumenta y en cuáles decrece?
b)1 pts
Tras el segundo 1 y antes del segundo 20, ¿la velocidad es inferior a 5 km/h en algún momento? ¿Supera los 70 km/h en algún momento? En caso afirmativo, indica cuándo.
c)0,5 pts
Explica cuál de las siguientes figuras se corresponde con la gráfica de la función ff.
Gráfica (i) de la función de velocidad
Gráfica (i) de la función de velocidad
Gráfica (ii) de la función de velocidad
Gráfica (ii) de la función de velocidad
Gráfica (iii) de la función de velocidad
Gráfica (iii) de la función de velocidad
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Dada la función f(x)=−14x2+6x−30f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 6x - 30:
a)1 pts
Encuentra la primitiva FF de ff para la que se verifica que F(2)=2F(2) = 2.
b)1,5 pts
La función ff determina, entre x=10 mx = 10\,\text{m} y x=16 mx = 16\,\text{m}, el recorrido de una montaña rusa. Se quiere pintar de color gris la superficie bajo el recorrido en ese intervalo. Cada bote contiene pintura para 15 m215\,\text{m}^2 de superficie. ¿Cuántos botes serán necesarios para pintar toda esa superficie?
Superficie gris bajo la curva f entre x=10 y x=16
Superficie gris bajo la curva f entre x=10 y x=16
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
En una caseta de feria proponen un reto, a partir de las siguientes figuras.
1234
a)2 pts
El reto consiste en adivinar cuántos puntos en total (negros y blancos) habrá en la figura número 17 y, además, decir cuántos de ellos serán puntos negros y cuántos blancos. Para quienes han superado este reto, se plantea uno más complicado: ¿eres capaz de encontrar una fórmula que relacione el número de figura con el número de puntos negros para una figura cualquiera? Explica cómo has llegado a ella, indicando qué representa cada símbolo que uses (por ejemplo: nn es el número de figura).
b)0,5 pts
Dos clientes de la caseta, tras observar detenidamente el reto, tienen opiniones encontradas: una dice que no es posible que haya una figura que tenga un número par de puntos negros y otro dice que sí lo es. ¿A quién le das la razón? ¿Qué argumentos puedes utilizar para convencerlos?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
En un parque de atracciones quedan 2 horas para el cierre. Una persona quiere repartir ese tiempo entre sus dos atracciones favoritas: dragón rojo y gran loop. Cada viaje en el dragón rojo se estima que dura 6 minutos. Cada viaje en gran loop dura unos 8 minutos. Quiere hacer al menos 1 viaje en el gran loop y que el número de viajes en el dragón rojo sea a lo sumo, el doble que el número de viajes en el gran loop.
a)1 pts
Si se sube 8 veces en el dragón rojo, ¿cuántos viajes puede hacer en el gran loop? ¿Puede subir 6 veces a cada atracción?
b)1 pts
Siendo xx el número de viajes en el dragón rojo e yy el número de viajes en el gran loop, a partir de la imagen, indica cuál es la región factible para el problema que consiste en resolver cuántas veces puede subir esta persona a cada atracción. Señala los vértices (p. ej.: B, D, F y G) y justifica tu respuesta.
Gráfico de programación lineal con puntos A(0,15), B(18.67,1), C(12,6), D(20,0), E(0,1), F(0,0) y G(2,1)
Gráfico de programación lineal con puntos A(0,15), B(18.67,1), C(12,6), D(20,0), E(0,1), F(0,0) y G(2,1)
c)0,5 pts
Si los viajes en el dragón rojo cuestan 5 euros y en el gran loop 3 euros, ¿cuánto dinero puede llegar a gastar, como máximo? ¿Y cuánto puede gastar, como mínimo?
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
En una de las atracciones hay dos tipos de pases, el pase VIP y el normal, sus precios son, respectivamente, xx e yy. Un grupo de personas pagó, en total, 90 €90\,€ cuando compró un pase VIP y tres pases normales, mientras que otro grupo de personas pagó 15m €15m\,€ por comprar dos pases VIP y mm pases normales. Para determinar el precio de cada pase, se utiliza el siguiente sistema de ecuaciones: {x+3y=902x+my=15m \begin{cases} x + 3y = 90 \\ 2x + my = 15m \end{cases}
a)1 pts
Si m=15m = 15, ¿cuál fue el precio de cada tipo de pase?
b)1 pts
Proporciona un valor de mm para el cual el sistema tenga solución, pero esa solución carezca de sentido en el contexto del problema. Justifica tu respuesta.
c)0,5 pts
¿Para qué valor de mm el sistema no tiene solución? Justifica tu respuesta.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dadas las matrices: A=(−1−m3−8−m),B=(m−310),C=(xy),D=(46m−8) y E=(0−2m) A = \begin{pmatrix} -1 & -m \\ 3 & -8 - m \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} m & -3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} 4 \\ 6m - 8 \end{pmatrix} \text{ y } E = \begin{pmatrix} 0 \\ -2m \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Si A⋅B⋅C=12D+EA \cdot B \cdot C = 12D + E, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por xx e yy) en función del parámetro mm.
b)1 pts
Encuentra un valor de mm para el cual el sistema tenga infinitas soluciones.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
En la tómbola de un parque de atracciones se puede elegir entre 70 sobres, 40 son rojos y 30 son verdes. De los sobres rojos solo dos tienen el premio del peluche gigante, el 75 %75\,\% tienen "siga jugando" y el resto tienen otro tipo de premios. Entre los sobres verdes, tres contienen peluches gigantes, 23 tienen "siga jugando" y el resto, otros premios.
a)1,5 pts
¿Es más probable conseguir un peluche gigante si se elige un sobre verde o uno rojo? Si se elige un sobre al azar, ¿cuál es la probabilidad de ganar un peluche gigante?
b)1 pts
Si al elegir un sobre, sin poder ver el color, el premio no fue el peluche gigante y tampoco tenía "siga jugando", ¿cuál es la probabilidad de que el sobre haya sido verde?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
El 80 %80\,\% de las personas que trabajan en un parque de atracciones son menores de 30 años. De ellas, el 60 %60\,\% combinan este trabajo con estudios. De las 200 personas que trabajan en el parque, hay 120 personas que compaginan el trabajo con los estudios.
a)1 pts
¿Cuántas personas de las que trabajan en el parque tienen menos de 30 años y no estudian?
b)1 pts
Si se elige una persona al azar de entre las que compaginan trabajo y estudios, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de 30 años?
c)0,5 pts
¿Es independiente, entre el personal de la empresa, estudiar y ser menor de 30 años? ¿Por qué?
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
El gasto por visitante en una atracción se puede asumir que sigue distribución normal con desviación 8 €8\,€.
a)1 pts
¿Cuál es el tamaño de muestra nn mínimo para estimar el gasto medio por visitante en esta atracción mediante un intervalo de confianza al nivel de confianza del 90 %90\,\% con un error de estimación inferior a 2 €2\,€? Si, con el mismo nivel de confianza, se quisiese obtener un intervalo con menos error, ¿habría que aumentar o reducir el tamaño muestral mínimo obtenido?
b)0,5 pts
Para una muestra de nn visitantes se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza al 95 %95\,\% de confianza (en euros) para el gasto medio por visitante: (11,0947,12,9053)(11{,}0947, 12{,}9053). ¿Cuál fue el gasto medio por visitante en esa muestra? ¿Cuál fue el tamaño muestral nn considerado? ¿Cuál es el error de estimación en este caso?
c)1 pts
Partiendo del intervalo del apartado b), empareja las situaciones y los intervalos siguientes y justifica tu elección: (i) Intervalo a partir de la misma muestra pero a un nivel de confianza mayor (ii) Intervalo con la misma media muestral y nivel de confianza, pero obtenido a partir de una muestra de mayor tamaño (iii) Intervalo con nivel de confianza obtenido a partir de una muestra con el mismo tamaño pero con una media muestral diferente (A) (10,0947,11,9053)(10{,}0947, 11{,}9053) (B) (10,9238,13,0762)(10{,}9238, 13{,}0762) (C) (11,216,12,784)(11{,}216, 12{,}784)
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Para estimar el porcentaje de visitantes que realiza alguna compra en la tienda de un parque de atracciones se tomaron dos muestras del mismo tamaño nn. En la primera muestra se obtuvo una proporción muestral (de visitantes que compran en la tienda) de 0,70{,}7 y, a partir de ella, se construyeron dos intervalos de confianza para la proporción poblacional de visitantes que realizan alguna compra en la tienda, uno al 90 %90\,\% y otro al 95 %95\,\%. A partir de la segunda muestra se obtuvo un tercer intervalo al 95 %95\,\% de confianza. Los tres intervalos obtenidos (no necesariamente por este orden) fueron: (0,6102,0,7898)(0{,}6102, 0{,}7898), (0,5565,0,7435)(0{,}5565, 0{,}7435) y (0,6248,0,7752)(0{,}6248, 0{,}7752).
a)1,5 pts
Razona qué dos intervalos de estos tres corresponden a la primera muestra. ¿Cuál de esos dos es el correspondiente al 90 %90\,\% de confianza?
b)1 pts
Respecto a la segunda muestra, teniendo en cuenta el intervalo obtenido, ¿cuál fue el tamaño muestral nn? ¿Cuál fue el número de visitantes en esa muestra que realizó alguna compra en la tienda?
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