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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSGaliciaPAU 2003Ordinaria

Matemáticas CCSS · Galicia 2003

12 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. El alumno debe resolver solo un ejercicio de cada uno de los tres bloques temáticos. Puntuación máxima de cada uno de los ejercicios: Álgebra 3 ptos; Análisis 3,5 ptos; Estadística 3,5 ptos.

Ejercicio 1 · A · ÁLGEBRA

1Opción A
3 puntos
Álgebra

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Un empresario fabrica dos productos A y B. La fabricación de un kilogramo de A necesita 4 horas de trabajo y un gasto de 60 euros en material, obteniéndose un beneficio de 45 euros. La fabricación de un kilogramo de B necesita 8 horas de trabajo y un gasto de 48 euros en material, obteniéndose un beneficio de 33 euros. Cada semana el empresario dispone de 200 horas de trabajo. Además, firmó un contrato que lo obliga a fabricar un mínimo de 15 kg de A y 10 kg de B. Si no puede gastar más de 1920 euros en material, ¿cuántos kilogramos por semana debe fabricar de cada producto para obtener el máximo beneficio posible?
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Ejercicio 1 · A · ANÁLISIS

1Opción A
3,5 puntos
Análisis

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Dada la funciónf(x)={−x+1si x≤1−x2+4x−3si 1<x≤3x−3xsi x>3f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -x^2 + 4x - 3 & \text{si } 1 < x \leq 3 \\ \frac{x - 3}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}Representarla gráficamente estudiando: puntos de corte, crecimiento y decrecimiento, concavidad y asíntotas.
Representación gráfica de la función f(x) con sus puntos de corte y asíntota horizontal.
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Ejercicio 1 · A · ESTADÍSTICA

1Opción A
3,5 puntos
Estadística

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Considérese una población en la que se estudia una característica XX que sigue una distribución normal de media μ=12\mu = 12 y varianza σ2=16\sigma^2 = 16. Se pide:
a
Probabilidad de que un elemento de la población, elegido al azar, tenga la característica superior a 14.1,5 pts
b
Se considera una muestra aleatoria de tamaño n=9n = 9. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral tenga un valor superior a 14?2 pts
Datos
  • Xˉ∈N(μ,σn)\bar{X} \in N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)
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Ejercicio 1 · B · ÁLGEBRA

1Opción B
3 puntos
Álgebra

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

En la siguiente tabla se indica la audiencia prevista (en miles de espectadores) por tres cadenas de TV (A, B, C) en una determinada semana y en cada uno de los tres segmentos horarios (Mañana: M, Tarde: T y Noche: N): Como consecuencia de la calidad de los programas emitidos, se produjo en la audiencia prevista (y en todos los segmentos horarios) una reducción del 10% para la cadena A, una reducción del 5% para la B y un aumento del 20% para la C.
ABC
M406020
T604030
N1008090
a
Obtener la matriz que representa la nueva audiencia de las tres cadenas A, B y C, en los tres segmentos horarios M, N y T.1,5 pts
b
Sabiendo que el beneficio que obtiene cada cadena por espectador es de 3 euros por la mañana, 4 euros por la tarde y 6 euros por la noche, obtener mediante cálculo matricial los beneficios para cada una de las tres cadenas.1,5 pts
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Ejercicio 1 · B · ANÁLISIS

1Opción B
3,5 puntos
Análisis

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

La producción yy, en kg, de una cierta cosecha agrícola, depende de la cantidad de nitrógeno xx, con que abonemos la tierra (en las unidades apropiadas), según la función y=1000x1+x2y = \frac{1000x}{1 + x^2}, siendo x≥0x \geq 0.
a
Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función. Calcular la producción máxima.1,75 pts
b
Si es rentable que la producción esté entre 400 kg y 500 kg (ambos incluidos), ¿qué cantidades de nitrógeno necesitaríamos?1,75 pts
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Ejercicio 1 · B · ESTADÍSTICA

1Opción B
3,5 puntos
Estadística

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

En una ciudad, el 80% de la población adulta mira la televisión, el 30% lee algún libro y el 25% mira la televisión y lee algún libro. Se pide:
a
De entre los que leen libros, ¿qué porcentaje mira la televisión?1 pt
b
Porcentaje de los que no miran la televisión y sí leen algún libro.1 pt
c
Porcentaje de los que no hacen ninguna de las dos cosas.1,5 pts
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Ejercicio 2 · A · ÁLGEBRA

2Opción A
3 puntos
Álgebra

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Resolver matricialmente la ecuación AtX−B=0A^t X - B = 0 siendoA=(001100010)B=(345612)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}y donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 2 · A · ANÁLISIS

2Opción A
3,5 puntos
Análisis

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

a
Determinar la función f(x)f(x) si se sabe que pasa por el punto (0,1)(0, 1) y que su derivada es f′(x)=x3+2xf'(x) = x^3 + 2x.2 pts
b
Determinar el punto de la gráfica en el que la recta tangente tiene pendiente 0. ¿Qué más se puede afirmar de ese punto? Justifíquese la respuesta.1,5 pts
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Ejercicio 2 · A · ESTADÍSTICA

2Opción A
3,5 puntos
Estadística

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

a
La probabilidad de que deje de fumar un paciente, que se sometió a un régimen médico riguroso, es de 0,80{,}8. Si se eligen 100 pacientes, que se sometieron a dicho régimen, ¿cuál es la probabilidad de que dejaran de fumar entre 74 y 85 pacientes, ambos incluidos?2 pts
b
Sean AA y BB dos sucesos tales que P(A)=0,6P(A) = 0{,}6 y P(B)=0,3P(B) = 0{,}3. Si P(A/B)=0,1P(A/B) = 0{,}1 calcúlese P(A∩B)P(A \cap B) y P(Bˉ/A)P(\bar{B}/A) siendo Bˉ\bar{B} el complementario del suceso BB.1,5 pts
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Ejercicio 2 · B · ÁLGEBRA

2Opción B
3 puntos
Álgebra

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Se desea invertir 3000 euros en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo, con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante segura, con un interés anual del 7%. Se decide invertir como máximo 1800 euros en A y como mínimo 600 euros en B y además, invertir en A tanto o más que en B. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
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Ejercicio 2 · B · ANÁLISIS

2Opción B
3,5 puntos
Análisis

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

Determinar los parámetros aa, bb y cc en la función polinómica f(x)=ax3+bx2+cxf(x) = ax^3 + bx^2 + cx, sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto (3,0)(3, 0) y que el área, ∫03f(x)dx\int_{0}^{3} f(x) dx, limitada por la gráfica de la función f(x)f(x) y el eje xx es 274\frac{27}{4}.
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Ejercicio 2 · B · ESTADÍSTICA

2Opción B
3,5 puntos
Estadística

Elija uno de los dos ejercicios de este bloque.

La cantidad de mineral, en toneladas, que produce semanalmente una mina, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 10 Tm y desviación típica 4 Tm.
a
Calcular la probabilidad de que la producción semanal fuera superior a 12 Tm.1,5 pts
b
Se eligen 10 semanas al azar ¿cuál es la probabilidad de que en 3 o más semanas la producción de dicho mineral fuera superior a 12 Tm?2 pts
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