Matemáticas CCSS · Galicia 2003

Un empresario fabrica dos productos A y B. La fabricación de un kilogramo de A necesita 4 horas de trabajo y un gasto de 60 euros en material, obteniéndose un beneficio de 45 euros. La fabricación de un kilogramo de B necesita 8 horas de trabajo y un gasto de 48 euros en material, obteniéndose un beneficio de 33 euros. Cada semana el empresario dispone de 200 horas de trabajo. Además, firmó un contrato que lo obliga a fabricar un mínimo de 15 kg de A y 10 kg de B. Si no puede gastar más de 1920 euros en material, ¿cuántos kilogramos por semana debe fabricar de cada producto para obtener el máximo beneficio posible?

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ -x^2 + 4x - 3 & \text{si } 1 < x \leq 3 \\ \frac{x - 3}{x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Representarla gráficamente estudiando: puntos de corte, crecimiento y decrecimiento, concavidad y asíntotas.

Considérese una población en la que se estudia una característica $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu = 12$ y varianza $\sigma^2 = 16$. Se pide:

En la siguiente tabla se indica la audiencia prevista (en miles de espectadores) por tres cadenas de TV (A, B, C) en una determinada semana y en cada uno de los tres segmentos horarios (Mañana: M, Tarde: T y Noche: N): Como consecuencia de la calidad de los programas emitidos, se produjo en la audiencia prevista (y en todos los segmentos horarios) una reducción del 10% para la cadena A, una reducción del 5% para la B y un aumento del 20% para la C.

La producción $y$, en kg, de una cierta cosecha agrícola, depende de la cantidad de nitrógeno $x$, con que abonemos la tierra (en las unidades apropiadas), según la función $y = \frac{1000x}{1 + x^2}$, siendo $x \geq 0$.

En una ciudad, el 80% de la población adulta mira la televisión, el 30% lee algún libro y el 25% mira la televisión y lee algún libro. Se pide:

Resolver matricialmente la ecuación $A^t X - B = 0$ siendo $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ y donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$.

Se desea invertir 3000 euros en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo, con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante segura, con un interés anual del 7%. Se decide invertir como máximo 1800 euros en A y como mínimo 600 euros en B y además, invertir en A tanto o más que en B. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Determinar los parámetros $a$, $b$ y $c$ en la función polinómica $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, sabiendo que tiene un mínimo relativo en el punto $(3, 0)$ y que el área, $\int_{0}^{3} f(x) dx$, limitada por la gráfica de la función $f(x)$ y el eje $x$ es $\frac{27}{4}$.

La cantidad de mineral, en toneladas, que produce semanalmente una mina, es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 10 Tm y desviación típica 4 Tm.