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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSBalearesPAU 2023Ordinaria

Matemáticas CCSS · Baleares 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Conteste de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático, o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Queremos contratar una empresa de gestión de entre las siguientes: – La empresa A nos cobra 150 AC de coste base, y adicionalmente 5 AC por cada cliente y 3 AC por cada factura que emite. – La empresa B nos cobra 300 AC de coste base, 10 AC por cada cliente, y no cobra por emitir facturas. – La empresa C nos cobra 100 AC de coste base, no cobra en función del nombre de clientes, pero cobra 5 AC por cada factura que emite.
a
Si el año pasado tuvimos 50 clientes y, en total, emitimos 180 facturas, ¿qué empresa nos habría costado menos contratar?3 pts
b
De cara al año próximo, tenemos una previsión de xx clientes e yy facturas. Con esta previsión, la empresa A nos costaría 1050 AC y la empresa B nos costaría 900 AC. Calcula el número de clientes xx y el número de facturas yy previstos.5 pts
c
Con xx clientes e yy facturas, ¿cuánto nos costaría la empresa C?2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Un camión transporta una carga de exactamente 12 metros cúbicos de volumen y, como máximo, un peso de 18 toneladas. Puede transportar: – Arena, que pesa 1,61{,}6 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 80 AC por metro cúbico. – Grava, que pesa 1,81{,}8 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 100 AC por metro cúbico. – Ceniza, que pesa 0,50{,}5 toneladas por metro cúbico, y que se factura a 25 AC por metro cúbico. Nos interesa calcular el precio más alto que podrá facturar en un viaje. Para hacerlo, se pide:
a
Plantea la maximización de este precio como un problema de programación lineal con dos variables.4 pts
b
Dibuja la región factible, indicando las rectas y vértices que la delimitan.4 pts
c
Calcula el número de toneladas de cada material que se han de transportar para alcanzar el precio máximo, y determina también este precio máximo.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
La potencia generada por una placa solar, PP (medida en kW), depende del tiempo transcurrido, tt (medido en horas), según la expresión siguiente:P(t)={0para 0≤t<8,−2t2+52t+cpara 8≤t<18,0para 18≤t≤24,P(t) = \begin{cases} 0 & \text{para } 0 \leq t < 8, \\ -2t^2 + 52t + c & \text{para } 8 \leq t < 18, \\ 0 & \text{para } 18 \leq t \leq 24, \end{cases}donde cc es un parámetro real.
Gráfica de la potencia P en kW frente al tiempo t en horas, mostrando una parábola invertida entre t=8 y t=18.
tt [horas]PP [kW]
00
80
1250
180
a
Teniendo en cuenta que la función es continua, ¿cuál es el valor del parámetro cc?3 pts
b
Teniendo en cuenta que el valor máximo se alcanza a las 13 horas, calcula con la expresión dada cuál es la potencia en este momento.3 pts
c
¿En qué intervalos la función es creciente? ¿En qué intervalos es decreciente?4 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Consideramos el peso de un adulto, pp (en kg), y su metabolismo basal, mm (en vatios). Un investigador nos proporciona el modelo siguiente:p(m)=0,1⋅m1,5,m∈(0,+∞).p(m) = 0{,}1 \cdot m^{1{,}5}, \qquad m \in (0, +\infty).
a
Haz una gráfica esquemática de la función p(m)p(m), indicando el dominio, el comportamiento en los extremos del dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales.7 pts
b
Encuentra la función que da el metabolismo basal en función del peso, m(p)m(p) (es decir, aísla la variable mm).3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Considera las funciones:f(x)=(x+2)3,g(x)=x3+6x2+12x.f(x) = (x + 2)^3, \quad g(x) = x^3 + 6x^2 + 12x.
a
Justifica, calculando, que f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x).4 pts
b
¿Es cierto que f(x)=g(x)f(x) = g(x)?3 pts
c
Calcula lim⁡x→∞f(x)g(x)\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Manel escoge al azar dos cifras entre 0 y 9, que podrían estar repetidas.
a
¿Cuál es la probabilidad de que ambas cifras sean múltiplo de tres?3 pts
b
El producto de las dos cifras es múltiplo de tres si al menos una de las cifras es múltiplo de tres. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las dos cifras sea múltiplo de tres?4 pts
c
Ahora, Pep te da su número de teléfono, que contiene nueve cifras también entre 0 y 9, posiblemente repetidas, y que supondremos que son cifras escogidas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de las nueve cifras sea múltiplo de tres?3 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
De un total de n=80n = 80 alumnos, el 80% de alumnos han aprobado un examen de matemáticas, y el 75% han aprobado un examen de física. Además, de los que han suspendido el examen de matemáticas, solo un 50% ha aprobado el de física.
a
De los que han suspendido el examen de física, ¿cuántos han aprobado el de matemáticas?4 pts
b
¿Cuántos alumnos han aprobado alguno de los dos exámenes?3 pts
c
¿Aprobar el examen de física y aprobar el examen de matemáticas son eventos independientes?3 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
Para estudiar la vida de las tortugas marinas, hemos recopilado la edad que alcanzaron algunos ejemplares que murieron por causas naturales, y hemos obtenido (en años):
x1x_{1}x2x_{2}x3x_{3}x4x_{4}x5x_{5}x6x_{6}x7x_{7}x8x_{8}xˉ\bar{x}
5562697072779410375.25
a
Suponiendo que estos datos siguen una distribución normal, y que su desviación típica poblacional es de σ=20\sigma = 20 años, calcula el intervalo de confianza para la media poblacional con el 90% de confianza.4 pts
b
Supongamos ahora, además, que la media poblacional es de μ=75,25\mu = 75{,}25. ¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida?3 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que una tortuga marina supere los 80 años de vida, pero no los 100 años de vida?3 pts
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