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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSAndalucíaPAU 2020Variante Model E

Matemáticas CCSS · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Elija cuatro de los ocho ejercicios propuestos de al menos tres bloques distintos. Se corregirán los cuatro primeros ejercicios que aparezcan en el examen y que cumplan el requisito anterior. c) En cada ejercicio, parte o apartado se indica la puntuación máxima asignada. d) Todos los resultados deben estar suficientemente justificados. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. Si obtiene resultados directamente con la calculadora, explique con detalle los pasos necesarios para su obtención sin el uso de la misma. Este examen consta de 4 Bloques (A, B, C y D). Deberá responder a cuatro ejercicios de entre los ocho propuestos con la condición de que pertenezcan al menos a 3 bloques distintos. En caso de responder a más ejercicios de los requeridos, serán tenidos en cuenta los respondidos en primer lugar.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A
Una confitería elabora dos tipos de tartas, unas de chocolate y otras de merengue y chocolate. Para ello dispone de 100 kg100\,\text{kg} de bizcocho, 80 kg80\,\text{kg} de crema de chocolate y 46 kg46\,\text{kg} de merengue. Para elaborar una tarta de chocolate, se requieren 1 kg1\,\text{kg} de bizcocho y 2 kg2\,\text{kg} de crema de chocolate y para la tarta de chocolate y merengue se requieren 2 kg2\,\text{kg} de bizcocho, 1 kg1\,\text{kg} de crema de chocolate y 1 kg1\,\text{kg} de merengue. Por cada tarta de chocolate se obtiene un beneficio de 1010 euros y de 1212 euros por cada una de merengue y chocolate. Suponiendo que se vende todo lo que se elabora, ¿cuántas tartas de cada tipo debe preparar para obtener un beneficio máximo? ¿Cuál es dicho beneficio?
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A
Se consideran las matrices A=(101k−321k1)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ k & -3 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}, B=(3−2−1011)B = \begin{pmatrix} 3 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} y C=(−2413)C = \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.
a
Razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:Bt⋅AC⋅BB⋅A+BB2B^t \cdot A \qquad C \cdot B \qquad B \cdot A + B \qquad B^20,8 pts
b
Calcule los valores del parámetro kk para los que la matriz AA es invertible.0,7 pts
c
Para k=−1k = -1, calcule la inversa de la matriz AA.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B
Se considera la función f(x)={x2+ax+2si x≤0x+bx−1si x>0f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 2 & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x + b}{x - 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Halle aa y bb para que ff sea continua y derivable en x=0x = 0.1,2 pts
b
Para a=1a = 1 y b=−2b = -2, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.0,7 pts
c
Para a=1a = 1 y b=1b = 1, halle, si existen, las ecuaciones de las asíntotas de ff.0,6 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B
El número de bacterias en un determinado cultivo viene dado por la función B(t)B(t), donde tt representa el tiempo en horas, con 0≤t≤70 \leq t \leq 7. La variación instantánea en la población de bacterias en el cultivo viene dada por la derivada de la función BB, cuya expresión es B′(t)=50000⋅e2tB'(t) = 50000 \cdot e^{2t}.
a
¿Existe algún instante tt en el que el número de bacterias en el cultivo comience a decrecer?0,75 pts
b
Obtenga la expresión de la función B(t)B(t), sabiendo que en el instante t=0t = 0 el número de bacterias en el cultivo era de 4000040000.1,5 pts
c
¿Cuál es el número de bacterias en el cultivo a la hora y media?0,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C
Sean AA y BB dos sucesos de un mismo experimento aleatorio.
a
Si P(A)≠0P(A) \neq 0 y P(B)≠0P(B) \neq 0, ¿pueden ser los sucesos AA y BB independientes e incompatibles a la vez? Justifique la respuesta.0,5 pts
b
Sabiendo que P(A)=0,3P(A) = 0{,}3, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 y P(A/B)=0,2P(A/B) = 0{,}2, calcule las siguientes probabilidades:P(A∩B)P(A \cap B)P(A∪B)P(A \cup B)P(Ac∪Bc)P(A^c \cup B^c)P(A−B)P(A - B)(Nota: AcA^c y BcB^c denotan los sucesos complementarios).2 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C
El censo de una población andaluza está compuesto en total por 1500015000 personas, de las cuales 85008500 son mujeres. Se sabe que el 15%15\% de las mujeres y el 20%20\% de los hombres censados en dicha población han viajado alguna vez a un país extranjero. Se elige al azar una persona censada en dicha población.
a
¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero?1,25 pts
b
Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?1,25 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D
El tiempo de desfase, en minutos, entre la hora de paso programada de un autobús por cierta parada y la hora real a la que pasa, sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 44. Se observa el paso del autobús por la parada en 1010 ocasiones elegidas al azar, registrándose los siguientes desfases:4,72,13,65,40,04,24,0−0,21,95,24{,}7 \quad 2{,}1 \quad 3{,}6 \quad 5{,}4 \quad 0{,}0 \quad 4{,}2 \quad 4{,}0 \quad -0{,}2 \quad 1{,}9 \quad 5{,}2
a
Obtenga un intervalo de confianza al 97%97\% para el desfase medio en la hora de paso del autobús.1,25 pts
b
¿Qué tamaño muestral mínimo sería necesario para estimar el desfase medio con un error inferior a 3030 segundos y un nivel de confianza del 95%95\%? ¿Cómo variaría dicho tamaño muestral si se aumentara el nivel de confianza?1,25 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D
Una tienda de ropa quiere estudiar la aceptación de un nuevo sistema de pago a través del teléfono móvil. Para ello realiza una encuesta entre 200200 de sus clientes elegidos al azar, resultando que 150150 de ellos sí estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.
a
Determine un intervalo de confianza al 97%97\% para estimar la proporción de clientes de esa tienda que estarían dispuestos a usar el nuevo sistema de pago.1,5 pts
b
Mediante una nueva encuesta se quiere estimar la proporción de clientes de esa tienda que usarían el nuevo sistema de pago, con un error máximo del 3%3\% y un nivel de confianza del 94%94\%. Suponiendo que se mantiene la proporción muestral del apartado anterior, ¿a cuántos clientes como mínimo habría que realizar la encuesta?1 pt
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