Matemáticas CCSS · Castilla-La Mancha 2023

En el siguiente problema de programación lineal optimiza la función $f(x, y) = -x - 5y + 10$ sujeta a las siguientes restricciones: $$\begin{cases} x - y \geq 0 \\ -4 \leq x \leq 4 \\ -1 \leq y \leq 1 \end{cases}$$

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} 2x^2 + tx - 1 & \text{si } x \leq 1 \\ x + t & \text{si } x > 1 \end{cases}$

La discografía de un legendario grupo de rock se reedita en tres discos (I, II y III) y las ventas totales ascienden a $70000$ unidades. Sabemos que del disco III se vendieron las mismas unidades que entre los otros dos discos juntos y que la diferencia entre las unidades vendidas del III y las del II equivalen al triple de la diferencia entre las unidades vendidas del II y las del I.

La función $f(x) = ax^3 + bx^2 + c$ tiene un punto de inflexión en $(2, -5)$ y la pendiente de la recta tangente en ese mismo punto es $-12$. Calcula razonadamente los valores de los parámetros $a, b$ y $c$.

En un determinado instituto el $50\%$ de los estudiantes prefiere como red social Facebook, pero un $30\%$ de estos no publica habitualmente nada. El $35\%$ prefiere Instagram, pero solo el $30\%$ de los que prefieren esta plataforma hacen publicaciones habitualmente. Finalmente, el resto de los estudiantes prefiere TikTok y un $60\%$ de estos no publica habitualmente.

Un teatro ha vendido las $660$ entradas disponibles que tenía para un espectáculo. El número de entradas que se han vendido para jubilados es la cuarta parte de las entradas que se han vendido para adultos. Además, las entradas para niños equivalen al $10\%$ de las que se han vendido entre adultos y jubilados.

Una asociación benéfica ha tomado una muestra de $9$ personas y ha registrado las cantidades donadas por estas personas, obteniendo $60, 40, 55, 35, 20, 25, 50, 45$ y $30$ euros. Si el dinero donado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza $\sigma^2 = 100\,\text{euros}^2$,

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

De los $80$ estudiantes solicitantes de una beca Erasmus en Italia, $50$ son mujeres. Se seleccionan al azar y sin reposición a $3$ estudiantes que serán los que disfruten de la beca Erasmus en ese destino. Calcular la probabilidad de que:

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} -(x + t)^2 + 2 & \text{si } x \leq -2 \\ t - 2 & \text{si } -2 < x \leq 2 \\ x^2 - (t + 3)x + 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Un fabricante de motores para coches de Fórmula 1 ha tomado una muestra aleatoria de $81$ motores para examinar su peso, proporcionando una media de $153\,\text{kg}$. Si se sabe que el peso de los motores sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma = 30\,\text{kg}$,

La altura, medida en metros, que alcanza una pelota lanzada verticalmente hacia arriba viene expresada en función del tiempo por $H(x) = 20x - 2x^2$ con $x = \text{tiempo en segundos}$ y $0 \leq x \leq 10$.