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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2011

4 ejercicios

Instrucciones

Se proponen dos opciones A y B. Hay que elegir una de las opciones y contestar a sus cuestiones. La puntuación está detallada en cada una de las cuestiones o en sus distintas partes. Se permite el uso de calculadoras, pero los resultados, tanto analíticos como gráficos, deberán estar debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Estudiar para qué valores de α\alpha la matriz A=(012α+1−1α−2−1α+12)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \alpha + 1 & -1 & \alpha - 2 \\ -1 & \alpha + 1 & 2 \end{pmatrix} tiene rango máximo.1,25 pts
b
Siendo A−1A^{-1} la inversa de la matriz AA, calcular (A−1)2(A^{-1})^2 para α=−1\alpha = -1.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Utilizar el cambio de variable t6=1+xt^6 = 1 + x para calcular ∫x+1+2(x+1)2/3−x+1dx\int \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{(x + 1)^{2/3} - \sqrt{x + 1}} dx1,75 pts
b
Para f(x)=e−3xf(x) = e^{-3x} calcular sus derivadas sucesivas y concluir cuál de las siguientes opciones es la correcta: i) f(n)(x)=3ne−3xf^{(n)}(x) = 3^n e^{-3x} ii) f(n)(x)=(−3)(n+1)e−3xf^{(n)}(x) = (-3)^{(n+1)} e^{-3x} iii) f(n)(x)=(−3)ne−3xf^{(n)}(x) = (-3)^n e^{-3x}.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x2+2x−2f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 2}.
a
Calcular su dominio.0,5 pts
b
Obtener sus asíntotas.1 pt
c
Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una función par.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones: r≡2−x=y=z+12,s≡{2x−y+z=−2−x+y+3z=1r \equiv 2 - x = y = \frac{z + 1}{2}, \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y + z = -2 \\ -x + y + 3z = 1 \end{cases} y que pasa por el punto A(1,1,2)A(1, 1, 2).1,5 pts
b
Calcular el ángulo que forman los vectores u⃗=(2,1,1)\vec{u} = (2, 1, 1) y v⃗=(−1,1,1)\vec{v} = (-1, 1, 1). Obtener su producto vectorial.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Sean las matrices A=(cos⁡αsen⁡α−sen⁡αcos⁡α)A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sen \alpha \\ -\sen \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix} y B=(cos⁡α0sen⁡α0β0−sen⁡α0cos⁡α)B = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sen \alpha \\ 0 & \beta & 0 \\ -\sen \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}. Estudiar qué valores de α\alpha y β\beta hacen que sea cierta la igualdad (det⁡(A))2−2det⁡(A)det⁡(B)+1=0(\det(A))^2 - 2 \det(A) \det(B) + 1 = 01 pt
b
Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de ∣2342a+3b+42c+3d+4∣\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & a + 3 & b + 4 \\ 2 & c + 3 & d + 4 \end{vmatrix} con a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Se considera la función f(x)={ln⁡x0<x<1ax2+b1≤x<+∞f(x) = \begin{cases} \ln x & 0 < x < 1 \\ ax^2 + b & 1 \leq x < +\infty \end{cases}. Si f(2)=3f(2) = 3, obtener los valores de aa y bb que hacen que f(x)f(x) sea continua.1,25 pts
b
Calcular lim⁡x→+∞log⁡(x2−9)\lim_{x \to +\infty} \log(x^2 - 9) y lim⁡x→3+log⁡(x2−9)\lim_{x \to 3^+} \log(x^2 - 9).1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea f(x)=x3(x−1)2f(x) = \frac{x^3}{(x - 1)^2}.
a
Determinar su dominio.0,5 pts
b
Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.1 pt
c
Analizar sus puntos de inflexión.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,2,−4)A(1, 2, -4), B(0,3,2)B(0, 3, 2) y es paralelo a la recta x−14=y−21=z+12\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}.1,5 pts
b
En caso de que sea posible, escribir el vector v⃗=(1,2,4)\vec{v} = (1, 2, 4) como combinación lineal de los vectores a⃗=(1,0,1)\vec{a} = (1, 0, 1), b⃗=(1,1,0)\vec{b} = (1, 1, 0) y c⃗=(0,1,1)\vec{c} = (0, 1, 1).1 pt
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