Matemáticas II · Aragón 2011

Estudiar para qué valores de $\alpha$ la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ \alpha + 1 & -1 & \alpha - 2 \\ -1 & \alpha + 1 & 2 \end{pmatrix}$ tiene rango máximo.

Siendo $A^{-1}$ la inversa de la matriz $A$, calcular $(A^{-1})^2$ para $\alpha = -1$.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sen \alpha \\ -\sen \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sen \alpha \\ 0 & \beta & 0 \\ -\sen \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$. Estudiar qué valores de $\alpha$ y $\beta$ hacen que sea cierta la igualdad $$(\det(A))^2 - 2 \det(A) \det(B) + 1 = 0$$

Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & a + 3 & b + 4 \\ 2 & c + 3 & d + 4 \end{vmatrix}$ con $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.

Utilizar el cambio de variable $t^6 = 1 + x$ para calcular $$\int \frac{\sqrt{x + 1} + 2}{(x + 1)^{2/3} - \sqrt{x + 1}} dx$$

Para $f(x) = e^{-3x}$ calcular sus derivadas sucesivas y concluir cuál de las siguientes opciones es la correcta: i) $f^{(n)}(x) = 3^n e^{-3x}$ ii) $f^{(n)}(x) = (-3)^{(n+1)} e^{-3x}$ iii) $f^{(n)}(x) = (-3)^n e^{-3x}$.

Se considera la función $f(x) = \begin{cases} \ln x & 0 < x < 1 \\ ax^2 + b & 1 \leq x < +\infty \end{cases}$. Si $f(2) = 3$, obtener los valores de $a$ y $b$ que hacen que $f(x)$ sea continua.

Calcular $\lim_{x \to +\infty} \log(x^2 - 9)$ y $\lim_{x \to 3^+} \log(x^2 - 9)$.

Calcular su dominio.

Obtener sus asíntotas.

Estudiar sus puntos de corte con los ejes y analizar si es una función par.

Determinar su dominio.

Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Analizar sus puntos de inflexión.

Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones: $$r \equiv 2 - x = y = \frac{z + 1}{2}, \qquad s \equiv \begin{cases} 2x - y + z = -2 \\ -x + y + 3z = 1 \end{cases}$$ y que pasa por el punto $A(1, 1, 2)$.

Calcular el ángulo que forman los vectores $\vec{u} = (2, 1, 1)$ y $\vec{v} = (-1, 1, 1)$. Obtener su producto vectorial.

Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos $A(1, 2, -4)$, $B(0, 3, 2)$ y es paralelo a la recta $\frac{x - 1}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$.

En caso de que sea posible, escribir el vector $\vec{v} = (1, 2, 4)$ como combinación lineal de los vectores $\vec{a} = (1, 0, 1)$, $\vec{b} = (1, 1, 0)$ y $\vec{c} = (0, 1, 1)$.