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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2017

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)={x2+asi x≤2−x2+bx−9si x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx - 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a)1,5 pts
Calcula razonadamente los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}.
b)1 pts
Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función f(x)f(x) verifica las hipótesis del teorema en el intervalo [−2,6][-2, 6].
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Calcula razonadamente los siguientes límites:
a)1,25 pts
lim⁡x→−2x3+3x2−4x3+5x2+8x+4\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}
b)1,25 pts
lim⁡x→0xln⁡(x+1)2−2cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{2 - 2 \cos x}
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Con una chapa metálica de 8×58 \times 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2 y g(x)=x2−2x−4g(x) = x^2 - 2x - 4
a)1,5 pts
Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas.
b)1 pts
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de g(x)g(x) en el punto de abscisa x=−3x = -3.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a)1,5 pts
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} ax−y+z=a−42x+y−az=a−1y−z=−3}\left. \begin{array}{c c c c c c c} ax & - & y & + & z & = & a - 4 \\ 2x & + & y & - & az & = & a - 1 \\ & & y & - & z & = & - 3 \end{array} \right\}
b)1 pts
Resuélvelo razonadamente para el valor a=−1a = -1.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dadas matrices A=(210−10012−1),B=(−1012−10100)yC=(010030−10−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a)1 pts
¿Tiene inversa la matriz 2I3+B2I_3 + B? Razona la respuesta. I3I_3 es la matriz identidad de orden 3.
b)1,5 pts
Calcula razonadamente la matriz XX que verifica que 2X+C=A−X⋅B2X + C = A - X \cdot B.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Dado el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1) y las rectas r≡x−2−1=y+12=z0ys≡{x−y+2z+4=0x+z+1=0r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{0} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 4 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}
a)1,5 pts
Determina razonadamente la posición relativa de las rectas rr y ss.
b)1 pts
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por PP es paralelo a rr y a ss.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos P(0,1,−2)P(0, 1, -2) y Q(4,−3,0)Q(4, -3, 0).
b)1,5 pts
Encuentra razonadamente un punto que equidiste de PP y QQ y que pertenezca a la recta r≡{x=2+λy=−λz=−5λ∈Rr \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -5 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %50\,\%, el 30 %30\,\% y el 20 %20\,\% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 %6\,\% de las resistencias producidas por A, el 5 %5\,\% de las producidas por B y el 3 %3\,\% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:
a.1)0,75 pts
Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.
a.2)0,5 pts
Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.
b)1,25 pts
Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:
np k0,010,050,100,150,200,250,300,330,350,400,450,490,50
500,95100,77380,59050,44370,32770,23730,16810,13170,11600,07780,05030,03450,0313
10,04800,20360,32810,39150,40960,39550,36020,32920,31240,25920,20590,16570,1563
20,00100,02140,07290,13820,20480,26370,30870,32920,33640,34560,33690,31850,3125
30,00000,00110,00810,02440,05120,08790,13230,16460,18110,23040,27570,30600,3125
40,00000,00000,00050,00220,00640,01460,02840,04120,04880,07680,11280,14700,1563
50,00000,00000,00000,00010,00030,00100,00240,00410,00530,01020,01850,02820,0313
b.1)0,75 pts
Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.
b.2)0,5 pts
Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
a)1,25 pts
En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:
a.1)0,75 pts
El libro elegido sea de matemáticas.
a.2)0,5 pts
Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.
b)1,25 pts
El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.
a0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
b.1)0,75 pts
Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.
b.2)0,5 pts
¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 %33\,\% de los usuarios? Razona la respuesta.
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