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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2017Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2017

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial, tabla N(0,1) como anexo. Instrucciones: El estudiante deberá contestar a una de las dos opciones propuestas A o B. Dentro de cada opción el estudiante elegirá cuatro ejercicios entre los cinco propuestos. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se puede utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntúa 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la funciónf(x)={x2+asi x≤2−x2+bx−9si x>2f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx - 9 & \text{si } x > 2 \end{cases}
a
Calcula razonadamente los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}.1,5 pts
b
Enuncia el teorema de Rolle y comprueba si, para los valores hallados en el apartado anterior, la función f(x)f(x) verifica las hipótesis del teorema en el intervalo [−2,6][-2, 6].1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Con una chapa metálica de 8×58 \times 5 metros se desea construir, cortando cuadrados en las esquinas, un cajón sin tapa de volumen máximo. Halla razonadamente las dimensiones de dicho cajón.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}ax−y+z=a−42x+y−az=a−1y−z=−3}\left. \begin{array}{c c c c c c c} ax & - & y & + & z & = & a - 4 \\ 2x & + & y & - & az & = & a - 1 \\ & & y & - & z & = & - 3 \end{array} \right\}1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Dado el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1) y las rectasr≡x−2−1=y+12=z0ys≡{x−y+2z+4=0x+z+1=0r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{0} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x - y + 2z + 4 = 0 \\ x + z + 1 = 0 \end{cases}
a
Determina razonadamente la posición relativa de las rectas rr y ss.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por PP es paralelo a rr y a ss.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %50\,\%, el 30 %30\,\% y el 20 %20\,\% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 %6\,\% de las resistencias producidas por A, el 5 %5\,\% de las producidas por B y el 3 %3\,\% de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:1,25 pts
a.1
Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.0,75 pts
a.2
Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.0,5 pts
b
Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
np k0,010,050,100,150,200,250,300,330,350,400,450,490,50
500,95100,77380,59050,44370,32770,23730,16810,13170,11600,07780,05030,03450,0313
10,04800,20360,32810,39150,40960,39550,36020,32920,31240,25920,20590,16570,1563
20,00100,02140,07290,13820,20480,26370,30870,32920,33640,34560,33690,31850,3125
30,00000,00110,00810,02440,05120,08790,13230,16460,18110,23040,27570,30600,3125
40,00000,00000,00050,00220,00640,01460,02840,04120,04880,07680,11280,14700,1563
50,00000,00000,00000,00010,00030,00100,00240,00410,00530,01020,01850,02820,0313
b.1
Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.0,75 pts
b.2
Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.0,5 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula razonadamente los siguientes límites:
Datos
  • ln⁡\ln denota logaritmo neperiano
a
lim⁡x→−2x3+3x2−4x3+5x2+8x+4\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2 - 4}{x^3 + 5x^2 + 8x + 4}1,25 pts
b
lim⁡x→0xln⁡(x+1)2−2cos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{x \ln(x + 1)}{2 - 2 \cos x}1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2 y g(x)=x2−2x−4g(x) = x^2 - 2x - 4
a
Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de g(x)g(x) en el punto de abscisa x=−3x = -3.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas matricesA=(210−10012−1),B=(−1012−10100)yC=(010030−10−1)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a
¿Tiene inversa la matriz 2I3+B2I_3 + B? Razona la respuesta. I3I_3 es la matriz identidad de orden 3.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz XX que verifica que 2X+C=A−X⋅B2X + C = A - X \cdot B.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos P(0,1,−2)P(0, 1, -2) y Q(4,−3,0)Q(4, -3, 0).1 pt
b
Encuentra razonadamente un punto que equidiste de PP y QQ y que pertenezca a la rectar≡{x=2+λy=−λz=−5λ∈Rr \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -5 \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:1,25 pts
a.1
El libro elegido sea de matemáticas.0,75 pts
a.2
Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.0,5 pts
b
El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.1,25 pts
a0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
b.1
Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.0,75 pts
b.2
¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 %33\,\% de los usuarios? Razona la respuesta.0,5 pts
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