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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial como anexo. Instrucciones: El estudiante deberá resolver CUATRO ejercicios, si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determina razonadamente los valores de aa para los que la matriz AA no tiene inversaA=(1a+121021aa010a020)A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}1,25 pts
b
Calcula razonadamente todos los posibles valores x,y,zx, y, z para que el producto de las matrices C=(xy)C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} y D=(31−1)D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \end{pmatrix} conmute.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{ax−ay−z=aax−ay=aax+2y−z=1\begin{cases} ax - ay - z = a \\ ax - ay = a \\ ax + 2y - z = 1 \end{cases}1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=2a = 2, si es posible.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dada la funciónf(x)={3x−2si x<2cos⁡(πx)si 2≤x≤3ln⁡(x−2)3−xsi x>3f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x - 2} & \text{si } x < 2 \\ \cos(\pi x) & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{\ln(x - 2)}{3 - x} & \text{si } x > 3 \end{cases}
a
Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.1,5 pts
b
Calcula razonadamente el siguiente límite: lim⁡x→0xe−x1+2x−cos⁡(x2)\lim_{x \to 0} \frac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea la función f(x)=x2−2x+1x2+1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 + 1}
a
Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función f(x)f(x) y clasifícalos.1,5 pts
b
Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función f(x)f(x) en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente la siguiente integral: ∫3x−2x2−2x+1 dx\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1} \, dx1,25 pts
b
Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función g(x)=−x3+2x2+3xg(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x y el eje de abscisas.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Dados los planos π1≡2x+y+z−2=0\pi_1 \equiv 2x + y + z - 2 = 0 y π2≡{x=−1+λ−μy=−λ+μz=−2+2λ\pi_2 \equiv \begin{cases} x = -1 + \lambda - \mu \\ y = -\lambda + \mu \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}.
a
Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.1 pt
b
Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto P(3,−3,2)P(3, -3, 2) y los puntos de corte del plano π1\pi_1 con los ejes coordenados.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Dados el plano π≡{x=−1+μy=1+λ+aμz=1+2λ−μ\pi \equiv \begin{cases} x = -1 + \mu \\ y = 1 + \lambda + a\mu \\ z = 1 + 2\lambda - \mu \end{cases} y la recta s≡{x−2y=1−bz=−3s \equiv \begin{cases} x - 2y = 1 - b \\ z = -3 \end{cases}
a
Calcula razonadamente el valor de los parámetros aa y bb para que la recta ss esté contenida en el plano π\pi.1,5 pts
b
Si a=0a = 0 y b=3b = 3, calcula razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta rr que pasa por el punto P(1,−1,−8)P(1, -1, -8), es paralela al plano π\pi y perpendicular a la recta ss.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
np k0.010.050.100.150.200.250.300.330.350.400.450.490.50
900.91350.63020.38740.23160.13420.07510.04040.02720.02070.01010.00460.00230.0020
10.08300.29850.38740.36790.30200.22530.15560.12060.10040.06050.03390.02020.0176
20.00340.06290.17220.25970.30200.30030.26680.23760.21620.16120.11100.07760.0703
30.00010.00770.04460.10690.17620.23360.26680.27310.27160.25080.21190.17390.1641
40.00000.00060.00740.02830.06610.11680.17150.20170.21940.25080.26000.25060.2461
50.00000.00000.00080.00500.01650.03890.07350.09940.11810.16720.21280.24080.2461
60.00000.00000.00010.00060.00280.00870.02100.03260.04240.07430.11600.15420.1641
70.00000.00000.00000.00000.00030.00120.00390.00690.00980.02120.04070.06350.0703
80.00000.00000.00000.00000.00000.00010.00040.00080.00130.00350.00830.01530.0176
90.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00010.00030.00080.00160.0020
a
En un servicio de emergencias el 60%60\% de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30%30\% con el naranja y el 10%10\% con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es 3%3\% en el caso de código amarillo, 2%2\% en el naranja y 1%1\% en el rojo. Si se recibe un aviso,1,25 pts
a.1
¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?0,5 pts
a.2
Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?0,75 pts
b
Si en una centralita se reciben 99 avisos,1,25 pts
b.1
¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 22 o menos avisos naranjas?0,5 pts
b.2
¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?0,75 pts
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