Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2020

Determina razonadamente los valores de $a$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa $$A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Calcula razonadamente todos los posibles valores $x, y, z$ para que el producto de las matrices $C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ conmute.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} ax - ay - z = a \\ ax - ay = a \\ ax + 2y - z = 1 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.

Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.

Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \frac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}$.

Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.

Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1} \, dx$

Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función $g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x$ y el eje de abscisas.

Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.

Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto $P(3, -3, 2)$ y los puntos de corte del plano $\pi_1$ con los ejes coordenados.

Calcula razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi$.

Si $a = 0$ y $b = 3$, calcula razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1, -1, -8)$, es paralela al plano $\pi$ y perpendicular a la recta $s$.

En un servicio de emergencias el $60\%$ de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el $30\%$ con el naranja y el $10\%$ con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es $3\%$ en el caso de código amarillo, $2\%$ en el naranja y $1\%$ en el rojo. Si se recibe un aviso,

Si en una centralita se reciben $9$ avisos,