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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMurciaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Murcia 2021

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OBSERVACIONES IMPORTANTES: Se debe responder a un máximo de 4 cuestiones y no es necesario hacerlo en el mismo orden en que están enunciadas. Cada cuestión tiene una puntuación de 2,5 puntos. Si se responde a más de 4 cuestiones, sólo se corregirán las cuatro primeras, en el orden que haya respondido el estudiante. Solo se podrán usar las tablas estadísticas que se adjuntan. No se podrán usar calculadoras gráficas ni programables.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro aa:{ax+y+z=4x−ay+z=1x+y+z=a+2\begin{cases} ax + y + z = 4 \\ x - ay + z = 1 \\ x + y + z = a + 2 \end{cases}
a
Determine para qué valores de aa el sistema tiene solución única.0,75 pts
b
Determine para qué valor de aa el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valor de aa el sistema no tiene solución.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las matricesA=(111010122),B=(100−121)yC=(−20−11−11)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad C = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
a
Compruebe que la matriz AA es regular (o inversible) y calcule su inversa.1,5 pts
b
Resuelva la ecuación matricial AX−B=CtAX - B = C^t, donde CtC^t denota la matriz traspuesta de CC.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
En este ejercicio se puede utilizar el resultado del apartado a) para realizar el apartado b), aun en el caso en que no se sepa realizar el apartado a). Se quiere diseñar una lata de refresco de forma cilíndrica, con tapas inferior y superior. El material para las tapas tiene un coste de 55 euros cada cm2\text{cm}^2 y el material para el resto del cilindro tiene un coste de 33 euros cada cm2\text{cm}^2.
a
Si denotamos por xx el radio de las tapas y por yy la altura de la lata, demuestre que el coste total del material necesario para construir dicha lata viene dado por 10πx2+6πxy10\pi x^2 + 6\pi xy.1 pt
b
Si el volumen de la lata es 90π cm390\pi\,\text{cm}^3, determine sus dimensiones (radio y altura) para que el coste del material sea mínimo.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes.
a
Calcule lim⁡x→+∞(x2+1−x)\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 1} - x).1 pt
b
Calcule la integral indefinida ∫x2ln⁡(x)dx\int x^2 \ln(x) dx. Determine la primitiva de la función f(x)=x2ln⁡(x)f(x) = x^2 \ln(x) cuya gráfica pasa por el punto de coordenadas (1,0)(1,0).1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considere los planos de ecuaciones π1:x−y+z=0\pi_1: x - y + z = 0 y π2:x+y−z=2\pi_2: x + y - z = 2.
a
Compruebe que los planos se cortan y calcule la ecuación de la recta rr determinada por la intersección de ambos planos.1 pt
b
Compruebe que el punto A=(3,2,1)A = (3, 2, 1) no está en π1\pi_1 ni en π2\pi_2 y calcule la ecuación del plano π3\pi_3 que contiene a la recta rr y pasa por el punto AA.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
En este ejercicio las cuestiones a) y b) son totalmente independientes. Considere los puntos A=(a,4,3)A = (a, 4, 3), B=(0,0,5)B = (0, 0, 5) y C=(0,3,−1)C = (0, 3, -1).
a
Calcule los valores de aa para los cuales el triángulo ABC^\widehat{ABC} tiene un ángulo recto en el vértice AA.1 pt
b
Tomando el valor de a=3a = 3, determine la ecuación del plano que pasa por los puntos AA y BB y es paralelo a la recta dada por {x−y+z=02x+y=3\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y = 3 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Un estudio revela que el 10%10\% de los hombres son daltónicos y que el 1%1\% de las mujeres son daltónicas. Según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un 50,5%50{,}5\% de hombres y un 49,5%49{,}5\% de mujeres. Determine:
a
La probabilidad de que una persona elegida al azar sea daltónica.1 pt
b
Si una persona es daltónica, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1 pt
c
¿Son independientes los sucesos "ser una persona daltónica" y "ser mujer"?0,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades. La velocidad de los vehículos en una autopista con límite de velocidad de 120 km/h120\,\text{km/h} sigue una distribución normal de media μ km/h\mu\,\text{km/h} y desviación típica σ=10 km/h\sigma = 10\,\text{km/h}. Se sabe que el 69,15%69{,}15\% de los vehículos no sobrepasan la velocidad de 130 km/h130\,\text{km/h}.
a
Calcule la media de esta distribución.0,75 pts
b
¿Cuál es el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida?0,75 pts
c
La DGT establece una multa de 100100 euros a los vehículos que viajan entre 120120 y 150 km/h150\,\text{km/h}. ¿Cuál es la probabilidad de ser sancionado con dicha multa?1 pt
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