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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considera las matrices:A=(1210),B=(312−5)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & -5 \end{pmatrix}
a
Calcula sus determinantes: det⁡(A)\det(A), det⁡(B)\det(B).2 pts
b
Calcula la matriz producto B⋅AB \cdot A, la matriz transpuesta (B⋅A)t(B \cdot A)^t.3 pts
c
Para que se cumpla la relación A⋅X=B⋅AA \cdot X = B \cdot A, ¿cuántas filas y columnas debe tener la matriz XX?2 pts
d
Calcula la matriz XX que satisface la relación:A⋅X=B⋅A\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A}3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Una empresa fabrica tres tipos de bombilla: A, B y C. La bombilla tipo A tiene 10 puntos LED, la tipo B tiene 20 puntos LED, y la tipo C tiene 50 puntos LED. El nombre de bombillas de 10 puntos LED fabricadas diariamente es λ\lambda veces el número de bombillas de 50 puntos LED. A la empresa le interesa saber cuántas bombillas de cada tipo puede fabricar diariamente.
a
Si λ=2\lambda = 2, y esta empresa usa, diariamente, 3000030000 puntos LED con los cuales fabrica 13001300 bombillas:7 pts
a.i
plantea el sistema de ecuaciones lineales de este problema.3 pts
a.ii
clasifica el sistema de ecuaciones lineales y, si es posible, determina cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar.4 pts
b
Si λ=3\lambda = 3, y la empresa fabrica diariamente 10001000 bombillas; clasifica el sistema de ecuaciones lineales y determina el número de puntos LED necesarios. En este caso, ¿cuántas bombillas de cada tipo se pueden fabricar?3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considera la función f:R⟶Rf : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} definida porf(x)={eax−12xsi x≠0,bsi x=0.f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{2x} & \text{si } x \neq 0, \\ b & \text{si } x = 0. \end{cases}
a
Estudia la continuidad de la función ff en los puntos x0≠0x_0 \neq 0.3 pts
b
Calcula la relación que debe haber entre aa y bb para que ff sea una función continua en el punto x0=0x_0 = 0.5 pts
c
Si para los valores de a=2a = 2 y b=1b = 1, ff es una función derivable en el punto x=0x = 0, calcula f′(0)f'(0).2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
El número de individuos de una población en un determinado instante de tiempo, tt, expresado en millones de individuos, viene dado por la funciónP(t)=15+t2(t+1)2,P(t) = \frac{15 + t^2}{(t + 1)^2},donde la variable real t≥0t \geq 0 mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000.
a
Calcula la población que había el 1 de enero del año 2000.2 pts
b
Prueba que el número de individuos de la población alcanza un mínimo. ¿Qué año se alcanza este mínimo? ¿Cuántos individuos habrá el año del mínimo?4 pts
c
Calcula el tamaño de la población, esto es el número de individuos, que habrá a largo plazo.4 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Dadas las rectas (I) x−12=y+1−1=z3\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3} (II) {x+y=1x−z=0\begin{cases} x + y = 1 \\ x - z = 0 \end{cases}
a
Calcula la ecuación vectorial de cada una de las rectas (I) y (II).1 pt
b
Si es posible, calcula el plano paralelo a la recta (II) que contiene a la recta (I).3 pts
c
Calcula el plano perpendicular a la recta (II) que pasa por el punto (−1,0,2)(-1, 0, 2).3 pts
d
Calcula la recta de dirección perpendicular a las de las rectas (I) y (II) que pasa por el origen.3 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Dados los puntosP=(1,0,1),Q=(1,1,0),yR=(0,1,1).P = (1, 0, 1), \quad Q = (1, 1, 0), \quad \text{y} \quad R = (0, 1, 1).
a
Comprueba que PP, QQ y RR no están alineados.2 pts
b
Calcula la ecuación vectorial del plano que determinan PP, QQ y RR.3 pts
c
Calcula el área del triángulo que tiene por vértices PP, QQ y RR.3 pts
d
Calcula, de forma razonada, la condición que han de cumplir aa, bb y cc para que los puntos PP, QQ, RR y S=(a,b,c)S = (a, b, c) pertenezcan a un mismo plano.2 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
En una urna hay 12 bolas rojas, 8 bolas blancas y 5 bolas azules. Se realiza el experimento aleatorio de extraer dos bolas, consecutivamente y sin devolución a la urna. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a
A = "las dos bolas son rojas"2 pts
b
B = "las dos bolas son del mismo color"3 pts
c
C = "al menos una bola es roja"3 pts
d
D = "ninguna de las dos bolas es roja"2 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
La altura de las personas de una clase se distribuye según una normal de media 160 cm160\,\text{cm} y desviación típica 10 cm10\,\text{cm}. Calcula la probabilidad de que, escogida al azar una persona de la clase, su altura:
Datos
  • mu=160,textcm\\mu = 160\\,\\text{cm}
  • sigma=10,textcm\\sigma = 10\\,\\text{cm}
a
sobrepase los 170 cm170\,\text{cm}.3 pts
b
sea menor que 155 cm155\,\text{cm}.3 pts
c
esté comprendida entre 155 cm155\,\text{cm} y 170 cm170\,\text{cm}.4 pts
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