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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2011

3 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escogerse una sola de las opciones. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 3. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 4. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera el sistema de ecuaciones lineales:{x+2y+mz=m−1x+(m+1)y+(2m+1)z=m−x−2y+z=2,m∈R.\begin{cases} x + 2y + mz = m - 1 \\ x + (m + 1)y + (2m + 1)z = m \\ -x - 2y + z = 2 \end{cases} , m \in \mathbb{R}.Estúdialo para los distintos valores del parámetro mm y resuélvelo cuando sea compatible (calculando todas sus soluciones).
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Determina los valores de aa y bb para que la funciónf(x)={ex−x−absen⁡(x2)si x≠012si x=0f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - x - a}{b \operatorname{sen}(x^2)} & \text{si } x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases}sea continua en x=0x = 0.1,75 pts
b
Determina la función g:R⟶Rg: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} que verifica g(0)=1g(0) = 1, g′(0)=3g'(0) = 3 y g′′(x)=(2+x)ex+2g''(x) = (2 + x)e^x + 2 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}.1,75 pts
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
a
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} dos vectores ortogonales y de módulo 1. Halla los valores del parámetro aa para que los vectores u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v} y u⃗−av⃗\vec{u} - a\vec{v} formen un ángulo de 60∘60^\circ.1,25 pts
b
Halla un vector z⃗\vec{z} de módulo 1 y que sea ortogonal a los vectores x⃗=(1,2,1)\vec{x} = (1, 2, 1) e y⃗=(0,1,1)\vec{y} = (0, 1, 1).1 pt
c
Justifica si es verdadera o falsa la afirmación siguiente. Si la consideras falsa, pon un ejemplo ilustrativo. "Si a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} son tres vectores no nulos que cumplen a⃗×b⃗=a⃗×c⃗\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}, entonces b⃗=c⃗\vec{b} = \vec{c}."1 pt
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Ejercicio 1

1
3,25 puntos
Considera las matrices:A=(m−110m−1m+22m−1m+2m+1),B=(10−11−1100−1),donde m∈R.A = \begin{pmatrix} m - 1 & 1 & 0 \\ m - 1 & m + 2 & 2 \\ m - 1 & m + 2 & m + 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \text{donde } m \in \mathbb{R}.
a
Determina para qué valores del parámetro mm la matriz AA es regular (inversible).1,25 pts
b
Para m=1m = 1, calcula la matriz XX que cumple X−B2=ABX - B^2 = AB.1 pt
c
Para m=1m = 1, estudia si el sistema A(xyz)=(288)A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} tiene solución. En caso afirmativo, calcula su solución.1 pt
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Ejercicio 2

2
3,5 puntos
a
Sea f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} una función derivable en todos los puntos tal que f(2)=0f(2) = 0 y f′(2)=−3f'(2) = -3. Considera la función h(x)=ef(x)+xcos⁡(f(x))+(f(x))2h(x) = e^{f(x)} + x \cos(f(x)) + (f(x))^2. Calcula razonadamente h′(2)h'(2).1,25 pts
b
Determina si la función g(x)=11+∣x∣g(x) = \frac{1}{1 + |x|} es derivable en x=0x = 0.1,25 pts
c
Justifica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si consideras que es falsa, pon un ejemplo ilustrativo. "Si f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} es una función con f′(x)={−1si x<01si x>0f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} entonces la función no es continua."1 pt
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Ejercicio 3

3
3,25 puntos
Considera los planosπ1≡2x−y+z=3π2≡x−y+z=2π3≡3x−y−az=b\begin{aligned} \pi_1 &\equiv 2x - y + z = 3 \\ \pi_2 &\equiv x - y + z = 2 \\ \pi_3 &\equiv 3x - y - az = b \end{aligned}donde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
a
Determina el valor de los parámetros aa y bb para que los planos se corten en una recta rr.1,25 pts
b
Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta rr.1 pt
c
Halla una ecuación general del plano π\pi que contiene a la recta rr y que pasa por el punto Q=(2,1,3)Q = (2, 1, 3).1 pt
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