Matemáticas II · Cantabria 2011

Determina para qué valores del parámetro $m$ la matriz $A$ es regular (inversible).

Para $m = 1$, calcula la matriz $X$ que cumple $X - B^2 = AB$.

Para $m = 1$, estudia si el sistema $A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}$ tiene solución. En caso afirmativo, calcula su solución.

Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^x - x - a}{b \operatorname{sen}(x^2)} & \text{si } x \neq 0 \\ \frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ sea continua en $x = 0$.

Determina la función $g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ que verifica $g(0) = 1$, $g'(0) = 3$ y $g''(x) = (2 + x)e^x + 2$ para todo $x \in \mathbb{R}$.

Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función derivable en todos los puntos tal que $f(2) = 0$ y $f'(2) = -3$. Considera la función $h(x) = e^{f(x)} + x \cos(f(x)) + (f(x))^2$. Calcula razonadamente $h'(2)$.

Determina si la función $g(x) = \frac{1}{1 + |x|}$ es derivable en $x = 0$.

Justifica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Si consideras que es falsa, pon un ejemplo ilustrativo. "Si $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ es una función con $f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x < 0 \\ 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$ entonces la función no es continua."

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores ortogonales y de módulo 1. Halla los valores del parámetro $a$ para que los vectores $\vec{u} + \vec{v}$ y $\vec{u} - a\vec{v}$ formen un ángulo de $60^\circ$.

Halla un vector $\vec{z}$ de módulo 1 y que sea ortogonal a los vectores $\vec{x} = (1, 2, 1)$ e $\vec{y} = (0, 1, 1)$.

Justifica si es verdadera o falsa la afirmación siguiente. Si la consideras falsa, pon un ejemplo ilustrativo. "Si $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ son tres vectores no nulos que cumplen $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$, entonces $\vec{b} = \vec{c}$."

Determina el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que los planos se corten en una recta $r$.

Calcula unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$.

Halla una ecuación general del plano $\pi$ que contiene a la recta $r$ y que pasa por el punto $Q = (2, 1, 3)$.