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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Despues de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora, siempre que no tenga NINGUNA de las siguientes características: posibilidad de transmitir datos, ser programable, pantalla gráfica, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas, cálculo de integrales ni almacenamiento de datos alfanuméricos. Cualquiera que tenga alguna de estas características será retirada. CALIFICACIÓN: La valoración de cada ejercicio se especifica en el enunciado. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {kx+(k+1)y+z=0−x+ky−z=0(k−1)x−y=−(k+1)\begin{cases} kx + (k+1)y + z = 0 \\ -x + ky - z = 0 \\ (k-1)x - y = -(k+1) \end{cases} se pide:
a
Discutir el sistema según los valores del parámetro real kk.2 pts
b
Resolver el sistema para k=−1k = -1.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Sean ff y gg dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos: f(1)=1,f′(1)=2,g(1)=3,g′(1)=4.f(1) = 1, f'(1) = 2, g(1) = 3, g'(1) = 4. Dada h(x)=f((x+1)2)h(x) = f((x+1)^2), use la regla de la cadena para calcular h′(0)h'(0). Dada k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, calcule k′(1)k'(1).1,25 pts
b
Calcule la integral ∫(sen⁡x)4(cos⁡x)3dx\int (\sen x)^4 (\cos x)^3 dx. (Se puede usar el cambio de variables t=sen⁡xt = \sen x.)1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(1,3,−3)B(1, 3, -3) y C(−3,−1,1)C(-3, -1, 1), se pide:
a
Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.1 pt
b
Obtener un punto DD (distinto de AA, BB y CC) tal que los vectores AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} y AD⃗\vec{AD} sean linealmente dependientes.0,5 pts
c
Encontrar un punto PP del eje OXOX, de modo que el volumen del tetraedro de vértices AA, BB, CC y PP sea igual a 11.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a
Se sabe que el 40%40\% del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entre los aspirantes había un grupo de 88 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 22 de ellos hayan sido seleccionados.1,25 pts
b
Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, XX, de media 5,65{,}6 y desviación típica σ\sigma. Sabiendo que la probabilidad de obtener una puntuación X≤8,2X \leq 8{,}2 es 0,670{,}67, calcule σ\sigma.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
A=(1−a111+a),I=(1001)A = \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Calcular para qué valores a∈Ra \in \mathbb{R} se verifica A2−I=2AA^2 - I = 2A.1 pt
b
Calcular los números reales aa para los que la matriz AA admite inversa y calcularla, cuando sea posible, en función del parámetro aa.0,75 pts
c
Calcular, en función de aa, el determinante de la matriz (AAt)2(AA^t)^2, donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Un brote de una enfermedad se propaga a lo largo de unos días. El número de enfermos tt días después de iniciarse el brote viene dado por una función F(t)F(t) tal que F′(t)=t2(10−t)F'(t) = t^2(10 - t).
a
Sabiendo que inicialmente había 66 personas afectadas, calcule la función F(t)F(t).1 pt
b
Calcule cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el número máximo de enfermos y cuál es ese número.1 pt
c
Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuántos días dura el brote.0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dados el plano π≡2x+3y−z=4\pi \equiv 2x + 3y - z = 4, y las rectas r≡{x+y−z=0x+y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases} y s≡(x,y,z)=(1,2,3)+λ(1,0,1)s \equiv (x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 0, 1), con λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, se pide:
a
Calcular el punto simétrico de P(1,2,3)P(1, 2, 3) respecto de π\pi.1 pt
b
Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi, que pasa por el punto intersección de las rectas rr y ss.1 pt
c
Calcular el ángulo que forman entre sí las rectas rr y ss.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/31/3 de las existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a revisarlos durante el rodaje es del 1,6%1{,}6\%, mientras que para los de alta gama es del 0,9%0{,}9\%. En un control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.
a
Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.1 pt
b
Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.1,5 pts
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