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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2019Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2019

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Dado el sistema de ecuaciones {kx+(k+1)y+z=0−x+ky−z=0(k−1)x−y=−(k+1)\begin{cases} kx + (k+1)y + z = 0 \\ -x + ky - z = 0 \\ (k-1)x - y = -(k+1) \end{cases} se pide:
a)2 pts
Discutir el sistema según los valores del parámetro real kk.
b)0,5 pts
Resolver el sistema para k=−1k = -1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
A=(1−a111+a),I=(1001)A = \begin{pmatrix} 1-a & 1 \\ 1 & 1+a \end{pmatrix}, \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
a)1 pts
Calcular para qué valores a∈Ra \in \mathbb{R} se verifica A2−I=2AA^2 - I = 2A.
b)0,75 pts
Calcular los números reales aa para los que la matriz AA admite inversa y calcularla, cuando sea posible, en función del parámetro aa.
c)0,75 pts
Calcular, en función de aa, el determinante de la matriz (AAt)2(AA^t)^2, donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Sean ff y gg dos funciones derivables de las que se conocen los siguientes datos: f(1)=1,f′(1)=2,g(1)=3,g′(1)=4.f(1) = 1, f'(1) = 2, g(1) = 3, g'(1) = 4. Dada h(x)=f((x+1)2)h(x) = f((x+1)^2), use la regla de la cadena para calcular h′(0)h'(0). Dada k(x)=f(x)g(x)k(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, calcule k′(1)k'(1).
b)1,25 pts
Calcule la integral ∫(sen⁡x)4(cos⁡x)3dx\int (\sen x)^4 (\cos x)^3 dx. (Se puede usar el cambio de variables t=sen⁡xt = \sen x.)
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Un brote de una enfermedad se propaga a lo largo de unos días. El número de enfermos tt días después de iniciarse el brote viene dado por una función F(t)F(t) tal que F′(t)=t2(10−t)F'(t) = t^2(10 - t).
a)1 pts
Sabiendo que inicialmente había 66 personas afectadas, calcule la función F(t)F(t).
b)1 pts
Calcule cuántos días después de iniciarse el brote se alcanza el número máximo de enfermos y cuál es ese número.
c)0,5 pts
Calcule, usando el teorema de Bolzano, cuántos días dura el brote.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dados los puntos A(1,1,1)A(1, 1, 1), B(1,3,−3)B(1, 3, -3) y C(−3,−1,1)C(-3, -1, 1), se pide:
a)1 pts
Determinar la ecuación del plano que contiene a los tres puntos.
b)0,5 pts
Obtener un punto DD (distinto de AA, BB y CC) tal que los vectores AB⃗\vec{AB}, AC⃗\vec{AC} y AD⃗\vec{AD} sean linealmente dependientes.
c)1 pts
Encontrar un punto PP del eje OXOX, de modo que el volumen del tetraedro de vértices AA, BB, CC y PP sea igual a 11.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dados el plano π≡2x+3y−z=4\pi \equiv 2x + 3y - z = 4, y las rectas r≡{x+y−z=0x+y+z=2r \equiv \begin{cases} x + y - z = 0 \\ x + y + z = 2 \end{cases} y s≡(x,y,z)=(1,2,3)+λ(1,0,1)s \equiv (x, y, z) = (1, 2, 3) + \lambda(1, 0, 1), con λ∈R\lambda \in \mathbb{R}, se pide:
a)1 pts
Calcular el punto simétrico de P(1,2,3)P(1, 2, 3) respecto de π\pi.
b)1 pts
Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi, que pasa por el punto intersección de las rectas rr y ss.
c)0,5 pts
Calcular el ángulo que forman entre sí las rectas rr y ss.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Una empresa ha llevado a cabo un proceso de selección de personal.
a)1,25 pts
Se sabe que el 40%40\% del total de aspirantes han sido seleccionados en el proceso. Si entre los aspirantes había un grupo de 88 amigos, calcule la probabilidad de que al menos 22 de ellos hayan sido seleccionados.
b)1,25 pts
Las puntuaciones obtenidas por los aspirantes en el proceso de selección siguen una distribución normal, XX, de media 5,65{,}6 y desviación típica σ\sigma. Sabiendo que la probabilidad de obtener una puntuación X≤8,2X \leq 8{,}2 es 0,670{,}67, calcule σ\sigma.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Un concesionario dispone de vehículos de baja y alta gama, siendo los de alta gama 1/31/3 de las existencias. Entre los de baja gama, la probabilidad de tener un defecto de fabricación que obligue a revisarlos durante el rodaje es del 1,6%1{,}6\%, mientras que para los de alta gama es del 0,9%0{,}9\%. En un control de calidad preventa, se elige al azar un vehículo para examinarlo.
a)1 pts
Calcule la probabilidad de que el vehículo elegido resulte defectuoso.
b)1,5 pts
Si se comprueba que el vehículo elegido es defectuoso, calcule la probabilidad de que sea de gama baja.
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