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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2016

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
i)
Halle una función ff tal que f(0)=1f(0) = 1 y para x>−1x > -1 cumple f′(x)=x1+x.f'(x) = \frac{x}{1 + x}.
ii)
Calcule el área de la región que delimita la gráfica de f′f' y el eje de las abscisas para 0≤x≤10 \leq x \leq 1.
iii)
Determine, si existe, lim⁡x→0f′(x)x+1−1.\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{\sqrt{x + 1} - 1}.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
i)
Halle una función ff tal que f(0)=1f(0) = 1 y para x>−1x > -1 cumple f′(x)=x1+x.f'(x) = \frac{x}{1 + x}.
ii)
Calcule el área de la región que delimita la gráfica de f′f' y el eje de las abscisas para 0≤x≤10 \leq x \leq 1.
iii)
Determine, si existe, lim⁡x→0f′(x)x+1−1.\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{\sqrt{x + 1} - 1}.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
1,5 puntos
i)
¿Cuál es el ángulo que forman dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que satisfacen ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣?|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}|?
ii)
Los vectores a⃗\vec{a} y b⃗\vec{b} cumplen ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1, ∣b⃗∣=2|\vec{b}| = 2 y su producto escalar es a⃗⋅b⃗=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2. Calcule el producto vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
1,5 puntos
i)
¿Cuál es el ángulo que forman dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que satisfacen ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣?|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}|?
ii)
Los vectores a⃗\vec{a} y b⃗\vec{b} cumplen ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1, ∣b⃗∣=2|\vec{b}| = 2 y su producto escalar es a⃗⋅b⃗=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2. Calcule el producto vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
3 puntos
Sea g(x)=x3−5xx2+1g(x) = \frac{x^3 - 5x}{x^2 + 1}.
i)
Determine el dominio de gg.
ii)
Halle sus asíntotas.
iii)
Determine los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv)
Dibuje la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
3 puntos
Sea g(x)={ln⁡(x+1)x+1,si x>0ax+b,si x≤0g(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x + 1)}{x} + 1, & \text{si } x > 0 \\ ax + b, & \text{si } x \leq 0 \end{cases}
i)
Halle los valores de aa y bb para que la función gg sea continua en R\mathbb{R}.
ii)
Determine los valores de aa y bb para los cuales gg sea derivable en R\mathbb{R}.
iii)
Para los valores de aa y bb del inciso anterior, calcule la derivada de gg.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
3 puntos
Sean rr y ss las rectas de ecuaciones r:x2=2−y=z−13,s:{x=2+aλy=2λz=5−6λ,λ∈R.r: \frac{x}{2} = 2 - y = \frac{z - 1}{3}, \quad s: \begin{cases} x = 2 + a \lambda \\ y = 2 \lambda \\ z = 5 - 6 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}.
i)
Halle una ecuación para el plano que pasa por O(0,0,0)O(0, 0, 0) y es perpendicular a la recta rr.
ii)
Estudie la posición relativa de las rectas r,sr, s en función de aa.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
3 puntos
Discuta, en función del parámetro β\beta, el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo cuando sea compatible {βx+y+z=β2x−y+z=13x−y−z=16x−y+z=3β\begin{cases} \beta x + y + z = \beta^2 \\ x - y + z = 1 \\ 3x - y - z = 1 \\ 6x - y + z = 3\beta \end{cases}
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