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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno contestará a los ejercicios de una de las dos propuestas (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a ejercicios de una propuesta y a ejercicios distintos de la otra. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
i
Halle una función ff tal que f(0)=1f(0) = 1 y para x>−1x > -1 cumple f′(x)=x1+x.f'(x) = \frac{x}{1 + x}.
ii
Calcule el área de la región que delimita la gráfica de f′f' y el eje de las abscisas para 0≤x≤10 \leq x \leq 1.
iii
Determine, si existe, lim⁡x→0f′(x)x+1−1.\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{\sqrt{x + 1} - 1}.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
i
¿Cuál es el ángulo que forman dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que satisfacen ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣?|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}|?
ii
Los vectores a⃗\vec{a} y b⃗\vec{b} cumplen ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1, ∣b⃗∣=2|\vec{b}| = 2 y su producto escalar es a⃗⋅b⃗=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2. Calcule el producto vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea g(x)=x3−5xx2+1g(x) = \frac{x^3 - 5x}{x^2 + 1}.
i
Determine el dominio de gg.
ii
Halle sus asíntotas.
iii
Determine los extremos relativos y estudia la monotonía de gg.
iv
Dibuje la gráfica de gg destacando los elementos hallados anteriormente.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Sean rr y ss las rectas de ecuaciones r:x2=2−y=z−13,s:{x=2+aλy=2λz=5−6λ,λ∈R.r: \frac{x}{2} = 2 - y = \frac{z - 1}{3}, \quad s: \begin{cases} x = 2 + a \lambda \\ y = 2 \lambda \\ z = 5 - 6 \lambda \end{cases}, \lambda \in \mathbb{R}.
i
Halle una ecuación para el plano que pasa por O(0,0,0)O(0, 0, 0) y es perpendicular a la recta rr.
ii
Estudie la posición relativa de las rectas r,sr, s en función de aa.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
i
Halle una función ff tal que f(0)=1f(0) = 1 y para x>−1x > -1 cumple f′(x)=x1+x.f'(x) = \frac{x}{1 + x}.
ii
Calcule el área de la región que delimita la gráfica de f′f' y el eje de las abscisas para 0≤x≤10 \leq x \leq 1.
iii
Determine, si existe, lim⁡x→0f′(x)x+1−1.\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{\sqrt{x + 1} - 1}.
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Ejercicio 2

2
1,5 puntos
i
¿Cuál es el ángulo que forman dos vectores no nulos u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} que satisfacen ∣u⃗×v⃗∣=∣u⃗∣∣v⃗∣?|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}|?
ii
Los vectores a⃗\vec{a} y b⃗\vec{b} cumplen ∣a⃗∣=1|\vec{a}| = 1, ∣b⃗∣=2|\vec{b}| = 2 y su producto escalar es a⃗⋅b⃗=2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2. Calcule el producto vectorial a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}.
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Ejercicio 3

3
3 puntos
Sea g(x)={ln⁡(x+1)x+1,si x>0ax+b,si x≤0g(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x + 1)}{x} + 1, & \text{si } x > 0 \\ ax + b, & \text{si } x \leq 0 \end{cases}
i
Halle los valores de aa y bb para que la función gg sea continua en R\mathbb{R}.
ii
Determine los valores de aa y bb para los cuales gg sea derivable en R\mathbb{R}.
iii
Para los valores de aa y bb del inciso anterior, calcule la derivada de gg.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Discuta, en función del parámetro β\beta, el sistema de ecuaciones siguiente y resuélvalo cuando sea compatible {βx+y+z=β2x−y+z=13x−y−z=16x−y+z=3β\begin{cases} \beta x + y + z = \beta^2 \\ x - y + z = 1 \\ 3x - y - z = 1 \\ 6x - y + z = 3\beta \end{cases}
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