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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCataluñaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas CCSS · Cataluña 2011

12 ejercicios

Instrucciones

Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué es lo que quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se pueden usar calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Una empresa compra tres inmuebles por un valor total de 22 millones de euros. Al venderlos, espera obtener unas ganancias del 20%20\%, del 50%50\% y del 25%25\%, respectivamente, que le reportarán unos beneficios totales de 600 000600\,000 euros. En el momento de ponerlos a la venta, sin embargo, consigue unas ganancias del 80%80\%, del 90%90\% y del 85%85\%, respectivamente, lo que le reporta unos beneficios totales de 1,71{,}7 millones de euros. ¿Cuánto había pagado por cada inmueble?
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere la función f(x)=x−ln⁡(x)f(x) = x - \ln(x).
a
Indique su dominio. Determine la asíntota vertical de la función ff.1 pt
b
Determine los intervalos en los que la función ff es creciente y los intervalos en los que es decreciente, y clasifique sus posibles extremos.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la región sombreada de la figura siguiente:
Gráfica de una región factible sombreada en el primer cuadrante delimitada por tres rectas que pasan por los puntos (2,4), (6,0) y (10,0).
a
Determine el sistema de inecuaciones que la delimita.1 pt
b
Calcule el valor máximo de la función z=x+2yz = x + 2y en esta región, e indique para qué valores se alcanza este máximo.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere la región del plano limitada por las rectas x=0x = 0, y=0y = 0, 2x−3y=−62x - 3y = -6, x+3y=15x + 3y = 15 y x=6x = 6.
a
Dibújela, calcule sus vértices y justifique si los puntos P(1,3)P(1, 3) y Q(3,3)Q(3, 3) pertenecen o no a esta región.1,5 pts
b
Calcule en qué puntos de esta región la función f(x,y)=x+4yf(x, y) = x + 4y alcanza el valor máximo y el valor mínimo, e indique estos valores.0,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la función siguiente:f(x)=2x2ax+1f(x) = \frac{2x^2}{ax + 1}
a
Determine el valor de aa que hace que la función ff tenga un extremo en el punto x=1x = 1, e indique si se trata de un máximo o de un mínimo.1 pt
b
Para a=3a = 3, indique las asíntotas horizontales y verticales de la función ff.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere las matrices A=(2111)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(3512)B = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y C=(1021)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcule las matrices inversas de AA y de BB.1 pt
b
Determine una matriz XX de manera que A⋅X⋅B=CA \cdot X \cdot B = C.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la matriz A=(−12221−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
a
Una matriz BB, la primera fila de la cual es (1,0)(1, 0), tiene dos columnas y cumple que A⋅B=(5−23−5)A \cdot B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}. Complétela.1 pt
b
Haga los cálculos pertinentes para comprobar que (A⋅B)t=Bt⋅At(A \cdot B)^t = B^t \cdot A^t.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere la función f(x)={−x2+4,x<01x−3,x≥0f(x) = \begin{cases} -x^2 + 4, & x < 0 \\ \frac{1}{x - 3}, & x \geq 0 \end{cases}.
a
Haga una representación gráfica aproximada. Justifique para qué valores de xx la función es discontinua.1 pt
b
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=4x = 4.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Una empresa que fabrica bicicletas vende la totalidad de la producción. Llamaremos xx al número de bicicletas que fabrica mensualmente. Los costes mensuales de producción, en euros, siguen la función C(x)=180x+12000C(x) = 180x + 12000. La venta de las bicicletas le reporta unos ingresos que siguen la función I(x)=500x−12x2I(x) = 500x - \frac{1}{2}x^2. Los beneficios de la empresa son, lógicamente, la diferencia entre ingresos y costes.
a
¿En qué intervalo hay que situar la producción para no perder dinero?1 pt
b
¿Cuántas bicicletas debe producir mensualmente la empresa para obtener el beneficio máximo? En este caso, ¿cuánto gana por cada bicicleta?1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Considere el sistema {x−y+z=32x+y−2z=1−x+4y−5z=−8\begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y - 2z = 1 \\ -x + 4y - 5z = -8 \end{cases}.
a
Compruebe que tiene infinitas soluciones. Determínelas.1,5 pts
b
Determine, si es posible, una solución en la que la suma de las tres incógnitas sea 55.0,5 pts
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Sèrie 1
Considere la función f(x)=x−e−3xf(x) = x - e^{-3x}.
a
Indique su dominio, y demuestre que ff es estrictamente creciente en todo el dominio.1 pt
b
Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Sèrie 4
Un bosque tiene una masa forestal de 40 000 m340\,000\,\text{m}^3 de madera. Se calcula que la lluvia ácida y los incendios provocan una disminución del 6%6\% anual de dicha masa forestal, que se puede expresar en términos de la función F(t)=40000⋅0,94tF(t) = 40000 \cdot 0{,}94^t, en la que F(t)F(t) es la masa forestal que queda pasados tt años.
a
Justifique que la función FF es estrictamente decreciente.1 pt
b
¿Dentro de cuántos años la masa forestal se habrá reducido a la mitad?1 pt
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