Matemáticas II · Madrid 2024

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cinco intermedios como tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en $17$ cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir $7$ cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por otro largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

Para la función $f(x) = x^4 + \pi x^3 + \pi^2 x^2 + \pi^3 x + \pi^4$, se pide:

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$, se pide:

Sabiendo que $P(\bar{A}) = 11/20$, $P(A/B) - P(B/A) = 1/24$ y $P(A \cap \bar{B}) = 3/10$, se pide:

Consideremos las matrices reales: $$A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b & 2b & b \\ 2b & 3b & b \\ b & b & b \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ con $b \neq 0$. Se pide:

Calcule:

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices $P_1, P_2, P_3$ y $P_4$ de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que $P_1(1, 1, 1), P_2(2, 1, 0)$ y $P_3(1, 3, 2)$, pero del cuarto punto $P_4(3, a, 3)$ hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada.

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo. Las caras están numeradas del $1$ al $6$. En un determinado juego, lanzamos los dos dados. Para calcular la puntuación obtenida, se sigue el siguiente procedimiento: si el número obtenido en el dado azul es par, se le suma el doble del número obtenido en el dado rojo; si el número obtenido en el dado azul es impar, se le suma el número obtenido en el dado rojo. Se pide: