Matemáticas CCSS · Madrid 2016

Se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} k & -1 & 0 \\ -7 & k & k \\ -1 & -1 & k \end{pmatrix}$

Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$: $$\begin{cases} (a - 1)x + y + z = 1 \\ x + (a - 1)y + (a - 1)z = 1 \\ x + az = 1 \end{cases}$$

Sea $S$ la región del plano definida por $$2x - y \geq 1; \quad 2x - 3y \leq 6; \quad x + 2y \geq 3; \quad x + y \leq 8; \quad y \leq 3.$$

Se considera la función real de variable real: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si} \quad x < 0, \\ -x^2 + 3x & \text{si} \quad x \geq 0. \end{cases}$$

Dada la función real de variable real definida por $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si} \quad x < 1, \\ \frac{ax + b}{x} & \text{si} \quad 1 \leq x \leq 2, \\ \sqrt{x^3 + 1} & \text{si} \quad x > 2. \end{cases}$$

Se considera la función real de variable real $$f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 9}.$$

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un experimento aleatorio tales que $P(A) = 3/4$, $P(A \mid B) = 3/4$ y $P(B \mid A) = 1/4$.

Para efectuar cierto diagnóstico, un hospital dispone de dos escáneres, a los que denotamos como $A$ y $B$. El $65\%$ de las pruebas de diagnóstico que se llevan a cabo en ese hospital se realizan usando el escáner $A$, el resto con el $B$. Se sabe además que el diagnóstico efectuado usando el escáner $A$ es erróneo en un $5\%$ de los casos, mientras que el diagnóstico efectuado usando el escáner $B$ es erróneo en un $8\%$ de los casos. Calcúlese la probabilidad de que:

El tiempo, en minutos, que los empleados de unos grandes almacenes tardan en llegar a su casa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma = 5$.

El tiempo, en meses, que una persona es socia de un club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida $\mu$ y desviación típica $\sigma = 9$.