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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2016

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos. TIEMPO: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera la matriz A=(k−10−7kk−1−1k)A = \begin{pmatrix} k & -1 & 0 \\ -7 & k & k \\ -1 & -1 & k \end{pmatrix}
Datos
  • IdI_d denota la matriz identidad de tamaño 3×33 \times 3
a
Estúdiese para qué valores del parámetro real kk la matriz AA tiene inversa.1 pt
b
Determínese, para k=1k = 1, la matriz XX tal que X⋅A=IdX \cdot A = I_d.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea SS la región del plano definida por2x−y≥1;2x−3y≤6;x+2y≥3;x+y≤8;y≤3.2x - y \geq 1; \quad 2x - 3y \leq 6; \quad x + 2y \geq 3; \quad x + y \leq 8; \quad y \leq 3.
a
Represéntese la región SS y calcúlense las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Obténganse los valores máximo y mínimo de la función f(x,y)=2x+yf(x, y) = 2x + y en la región SS, indicando los puntos en los cuales se alcanzan dichos valores máximo y mínimo.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función real de variable real definida porf(x)={x2+1six<1,ax+bxsi1≤x≤2,x3+1six>2.f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si} \quad x < 1, \\ \frac{ax + b}{x} & \text{si} \quad 1 \leq x \leq 2, \\ \sqrt{x^3 + 1} & \text{si} \quad x > 2. \end{cases}
a
Determínense los valores que deben tomar los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea continua en x=1x = 1 y x=2x = 2.1 pt
b
Calcúlese, para a=4a = 4 y b=−2b = -2, el área del recinto acotado por la gráfica de f(x)f(x), el eje de abscisas y las rectas x=1x = 1 y x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean AA y BB dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P(A)=3/4P(A) = 3/4, P(A∣B)=3/4P(A \mid B) = 3/4 y P(B∣A)=1/4P(B \mid A) = 1/4.
Datos
  • S‾\overline{S} denota el suceso complementario del suceso SS
a
Demuéstrese que AA y BB son sucesos independientes pero no incompatibles.1 pt
b
Calcúlese P(A‾∣B‾)P(\overline{A} \mid \overline{B}).1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El tiempo, en minutos, que los empleados de unos grandes almacenes tardan en llegar a su casa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida μ\mu y desviación típica σ=5\sigma = 5.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 6464 empleados y su media muestral es x‾=30\overline{x} = 30 minutos. Determínese un intervalo de confianza al 95%95\% para μ\mu.1 pt
b
¿Qué tamaño mínimo debe tener una muestra aleatoria simple para que el correspondiente intervalo de confianza para μ\mu al 99%99\% tenga una amplitud a lo sumo de 1010 minutos?1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real aa:{(a−1)x+y+z=1x+(a−1)y+(a−1)z=1x+az=1\begin{cases} (a - 1)x + y + z = 1 \\ x + (a - 1)y + (a - 1)z = 1 \\ x + az = 1 \end{cases}
a
Discútase el sistema según los valores de aa.1 pt
b
Resuélvase el sistema para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se considera la función real de variable real:f(x)={x2+2xsix<0,−x2+3xsix≥0.f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si} \quad x < 0, \\ -x^2 + 3x & \text{si} \quad x \geq 0. \end{cases}
a
Estúdiese la continuidad y derivabilidad de la función.1 pt
b
Determínense los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} para los cuales la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=ax = a es m=−2m = -2. Calcúlese, para cada valor de aa obtenido, la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto de abscisa x=ax = a.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)=x2−3x2−9.f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 9}.
a
Calcúlense sus asíntotas.1 pt
b
Determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Para efectuar cierto diagnóstico, un hospital dispone de dos escáneres, a los que denotamos como AA y BB. El 65%65\% de las pruebas de diagnóstico que se llevan a cabo en ese hospital se realizan usando el escáner AA, el resto con el BB. Se sabe además que el diagnóstico efectuado usando el escáner AA es erróneo en un 5%5\% de los casos, mientras que el diagnóstico efectuado usando el escáner BB es erróneo en un 8%8\% de los casos. Calcúlese la probabilidad de que:
a
El diagnóstico de esa prueba efectuado a un paciente en ese hospital sea erróneo.1 pt
b
El diagnóstico se haya efectuado usando el escáner AA, sabiendo que ha resultado erróneo.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
El tiempo, en meses, que una persona es socia de un club deportivo, se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida μ\mu y desviación típica σ=9\sigma = 9.
a
Se toma una muestra aleatoria simple de 100100 personas que han sido socias de ese club y se obtuvo una estancia media de x‾=8,1\overline{x} = 8{,}1 meses. Determínese un intervalo de confianza al 90%90\% para μ\mu.1 pt
b
Sabiendo que para una muestra aleatoria simple de 144144 personas se ha obtenido un intervalo de confianza (7,766;10,233)(7{,}766; 10{,}233) para μ\mu, determínese el nivel de confianza con el que se obtuvo dicho intervalo.1 pt
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