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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2025

10 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Un turista recorre el Principado de Asturias pasando 'x' días en la zona del oriente, 'y' días en la zona centro y 'z' días en la zona de occidente. Sus gastos en estas vacaciones se reparten como sigue: cada día que pasa en la zona oriental gasta 3030 € en hospedaje y 2525 € en alimentación, en la zona centro gasta 4040 € en hospedaje y 2020 € en alimentación. En cuanto a la zona del occidente sus gastos diarios son 3030 € en hospedaje y 4040 € en alimentación. Además, cada día de vacaciones gasta en otros conceptos 2525 € en cada zona.
a)0,75 pts
Si decide repartir el presupuesto en 290290 € para hospedaje, 290290 € para alimentación y 225225 € para gastos varios, plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.
b)1 pts
En la situación del apartado (a) decide cuántos días puede estar en cada zona.
c)0,75 pts
Manteniendo el presupuesto para cada concepto decide cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestra que no se puede mantener esa distribución del presupuesto.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sea x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(x−12012−1−11),B=(−1−1−211121x)A = \begin{pmatrix} x & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & x \end{pmatrix}. Se pide:
a)1 pts
Calcular los valores de x∈Rx \in \mathbb{R} para los cuales BB tiene inversa.
b)1 pts
Para x=0x = 0, calcular, en caso de que sea posible, B−1B^{-1}.
c)0,5 pts
Calcular los valores de xx para los cuales det⁡(AB)=det⁡(A)\det(AB) = \det(A).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={x2,si 0≤x<4,3−(x−5)2,si 4≤x.f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{si } 0 \leq x < 4, \\ 3 - (x - 5)^2, & \text{si } 4 \leq x. \end{cases}
a)1 pts
Estudia si la función es continua en su dominio.
b)1 pts
Estudia los intervalos de crecimiento de la función. Estudia si la función tiene extremos relativos. Haz un esbozo de la gráfica de la función.
c)0,5 pts
Suponiendo que la función representa el número de millones de bacterias de un tipo que existen en una determinada muestra, en cada instante xx, ¿se llegaría a alcanzar en algún instante el valor 55 millones?
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
De dos funciones continuas se sabe que f(1)=1f(1) = 1 y f′(1)=2f'(1) = 2, y g(1)=−1g(1) = -1 y g′(1)=2g'(1) = 2. Se construye la función h(x)=f(x)g(x)h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} Se pide:
a)1,25 pts
Calcular h(1)h(1) y h′(1)h'(1).
b)1,25 pts
Sabiendo que ff tiene un máximo en x=3x = 3 y que k(x)=(x−2)2f(x)k(x) = (x - 2)^2 f(x) tiene un mínimo en ese mismo punto, calcular f(3)f(3).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Se sabe que la función F(x)F(x) es una primitiva de la función f(x)=xcos⁡(4x2−1).f(x) = x \cos(4x^2 - 1). Se pide:
a)1,5 pts
Calcular FF sabiendo que F(12)=1F\left(\frac{1}{2}\right) = 1.
b)1 pts
Estudiar si FF tiene un extremo en x=12x = \frac{1}{2}.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1,5 pts
Se considera la función f(x)=4sen⁡(x−π)f(x) = 4 \sen(x - \pi). Calcula el área acotada encerrada por ff y las rectas y=0y = 0, x=0x = 0 y x=πx = \pi.
b)1 pts
Se considera una función g(x)g(x) continua. Sabiendo que una primitiva de gg es f(x)=sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = \sen(x) \cos(x), calcula una expresión de gg.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se están construyendo dos puentes rectos en un tramo de autovía para los dos carriles. Los puentes siguen las ecuaciones siguientes: r1(t)=(2+t,−1−2t,3+2t);r2(s)=(1+2s,4−s,4−2s).r_1(t) = (2 + t, -1 - 2t, 3 + 2t); \qquad r_2(s) = (1 + 2s, 4 - s, 4 - 2s). Se pide:
a)1,25 pts
Estudia si los puentes son paralelos, se cortan o se cruzan.
b)1,25 pts
La empresa quiere construir un puente de servicio que los una, y quiere que sea lo más corto posible, ¿qué longitud tendrá la vía de servicio? Indica los puntos inicio y final del pasadizo.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se consideran los puntos siguientes: A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,1,4)B(-2, 1, 4), C(3,0,5)C(3, 0, 5) y D(0,−1,2)D(0, -1, 2). Se pide:
a)1 pts
Estudiar si los puntos pertenecen a un mismo plano.
b)0,75 pts
Calcular el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.
c)0,75 pts
Calcular el volumen del tetraedro formado por los 44 puntos.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
En una fábrica de componentes electrónicos se sabe que el 6%6\% de las piezas que se fabrican son defectuosas. En el proceso de control de calidad se toma una pieza al azar y se introduce en un sistema de prueba/fallo. Se sabe que la probabilidad de que el sistema de fallo si la pieza es defectuosa es del 95%95\% mientras que la probabilidad de que lo haga si la pieza no es defectuosa es del 4%4\%.
a)1,25 pts
Si se seleccionan 1010 piezas al azar ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa?
b)1,25 pts
Determina la probabilidad de que si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
En una empresa de telecomunicaciones, el tiempo que tarda un cliente en resolver un problema llamando a Atención al Cliente sigue una distribución normal con media μ=30\mu = 30 minutos y desviación típica σ=5\sigma = 5 minutos.
a)0,75 pts
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde entre 2525 y 3030 minutos en resolver su problema?
b)0,75 pts
Un cliente decide que si tarda más de 2020 minutos en su resolución, cambiará de empresa ¿cuál es la probabilidad de que cambie?
c)1 pts
La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 2020 minutos es 0,70{,}7. Si se mantiene la desviación típica ¿se ha mejorado el tiempo de resolución medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo?
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