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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2025

10 ejercicios

Instrucciones

➢ Responda en el pliego en blanco a cuatro de las cinco preguntas que se proponen. De cada una de las seleccionadas conteste una única opción, A o B. Todas las preguntas se calificarán con un máximo de 2.5 puntos. ➢ Agrupaciones de preguntas que sumen más de 10 puntos o que no coincidan con las indicadas conllevarán la anulación de la(s) última(s) pregunta(s) seleccionada(s) y/o respondida(s).

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Un turista recorre el Principado de Asturias pasando 'x' días en la zona del oriente, 'y' días en la zona centro y 'z' días en la zona de occidente. Sus gastos en estas vacaciones se reparten como sigue: cada día que pasa en la zona oriental gasta 3030 € en hospedaje y 2525 € en alimentación, en la zona centro gasta 4040 € en hospedaje y 2020 € en alimentación. En cuanto a la zona del occidente sus gastos diarios son 3030 € en hospedaje y 4040 € en alimentación. Además, cada día de vacaciones gasta en otros conceptos 2525 € en cada zona.
a
Si decide repartir el presupuesto en 290290 € para hospedaje, 290290 € para alimentación y 225225 € para gastos varios, plantea un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbelo matricialmente.0,75 pts
b
En la situación del apartado (a) decide cuántos días puede estar en cada zona.1 pt
c
Manteniendo el presupuesto para cada concepto decide cuántos días pasará en cada zona si decide no visitar la zona del oriente, o demuestra que no se puede mantener esa distribución del presupuesto.0,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sea x∈Rx \in \mathbb{R} y las matrices A=(x−12012−1−11),B=(−1−1−211121x)A = \begin{pmatrix} x & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & x \end{pmatrix}. Se pide:
a
Calcular los valores de x∈Rx \in \mathbb{R} para los cuales BB tiene inversa.1 pt
b
Para x=0x = 0, calcular, en caso de que sea posible, B−1B^{-1}.1 pt
c
Calcular los valores de xx para los cuales det⁡(AB)=det⁡(A)\det(AB) = \det(A).0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Se considera la funciónf(x)={x2,si 0≤x<4,3−(x−5)2,si 4≤x.f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & \text{si } 0 \leq x < 4, \\ 3 - (x - 5)^2, & \text{si } 4 \leq x. \end{cases}
a
Estudia si la función es continua en su dominio.1 pt
b
Estudia los intervalos de crecimiento de la función. Estudia si la función tiene extremos relativos. Haz un esbozo de la gráfica de la función.1 pt
c
Suponiendo que la función representa el número de millones de bacterias de un tipo que existen en una determinada muestra, en cada instante xx, ¿se llegaría a alcanzar en algún instante el valor 55 millones?0,5 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
De dos funciones continuas se sabe que f(1)=1f(1) = 1 y f′(1)=2f'(1) = 2, y g(1)=−1g(1) = -1 y g′(1)=2g'(1) = 2. Se construye la funciónh(x)=f(x)g(x)h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}Se pide:
a
Calcular h(1)h(1) y h′(1)h'(1).1,25 pts
b
Sabiendo que ff tiene un máximo en x=3x = 3 y que k(x)=(x−2)2f(x)k(x) = (x - 2)^2 f(x) tiene un mínimo en ese mismo punto, calcular f(3)f(3).1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Se sabe que la función F(x)F(x) es una primitiva de la funciónf(x)=xcos⁡(4x2−1).f(x) = x \cos(4x^2 - 1).Se pide:
a
Calcular FF sabiendo que F(12)=1F\left(\frac{1}{2}\right) = 1.1,5 pts
b
Estudiar si FF tiene un extremo en x=12x = \frac{1}{2}.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a
Se considera la función f(x)=4sen⁡(x−π)f(x) = 4 \sen(x - \pi). Calcula el área acotada encerrada por ff y las rectas y=0y = 0, x=0x = 0 y x=πx = \pi.1,5 pts
b
Se considera una función g(x)g(x) continua. Sabiendo que una primitiva de gg es f(x)=sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = \sen(x) \cos(x), calcula una expresión de gg.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se están construyendo dos puentes rectos en un tramo de autovía para los dos carriles. Los puentes siguen las ecuaciones siguientes:r1(t)=(2+t,−1−2t,3+2t);r2(s)=(1+2s,4−s,4−2s).r_1(t) = (2 + t, -1 - 2t, 3 + 2t); \qquad r_2(s) = (1 + 2s, 4 - s, 4 - 2s).Se pide:
a
Estudia si los puentes son paralelos, se cortan o se cruzan.1,25 pts
b
La empresa quiere construir un puente de servicio que los una, y quiere que sea lo más corto posible, ¿qué longitud tendrá la vía de servicio? Indica los puntos inicio y final del pasadizo.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Se consideran los puntos siguientes: A(1,2,3)A(1, 2, 3), B(−2,1,4)B(-2, 1, 4), C(3,0,5)C(3, 0, 5) y D(0,−1,2)D(0, -1, 2). Se pide:
a
Estudiar si los puntos pertenecen a un mismo plano.1 pt
b
Calcular el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.0,75 pts
c
Calcular el volumen del tetraedro formado por los 44 puntos.0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
En una fábrica de componentes electrónicos se sabe que el 6%6\% de las piezas que se fabrican son defectuosas. En el proceso de control de calidad se toma una pieza al azar y se introduce en un sistema de prueba/fallo. Se sabe que la probabilidad de que el sistema de fallo si la pieza es defectuosa es del 95%95\% mientras que la probabilidad de que lo haga si la pieza no es defectuosa es del 4%4\%.
a
Si se seleccionan 1010 piezas al azar ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de ellas sea defectuosa?1,25 pts
b
Determina la probabilidad de que si se selecciona una pieza al azar, la prueba no indique fallo.1,25 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
En una empresa de telecomunicaciones, el tiempo que tarda un cliente en resolver un problema llamando a Atención al Cliente sigue una distribución normal con media μ=30\mu = 30 minutos y desviación típica σ=5\sigma = 5 minutos.
Datos
  • F(0)=0,5F(0) = 0{,}5
  • F(1)=0,8413F(1) = 0{,}8413
  • F(2)=0,9772F(2) = 0{,}9772
  • F(0,7)=0,758F(0{,}7) = 0{,}758
  • F(0,525)=0,7F(0{,}525) = 0{,}7
a
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tarde entre 2525 y 3030 minutos en resolver su problema?0,75 pts
b
Un cliente decide que si tarda más de 2020 minutos en su resolución, cambiará de empresa ¿cuál es la probabilidad de que cambie?0,75 pts
c
La empresa hace cambios en la gestión de atención al cliente obteniendo que la probabilidad de que se tarde menos de 2020 minutos es 0,70{,}7. Si se mantiene la desviación típica ¿se ha mejorado el tiempo de resolución medio o por el contrario el cambio no ha sido positivo?1 pt
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