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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2020

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente a cinco preguntas cualesquiera a elegir entre las diez que se proponen. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada pregunta se calificará sobre 2 puntos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Dada la matriz A=(25aa3)A = \begin{pmatrix} 2 & 5a \\ a & 3 \end{pmatrix} con a∈Ra \in \mathbb{R}
a
Determine los valores del parámetro aa para los que se verifica la igualdad A2−5A=−IA^2 - 5A = -I, donde II es la matriz identidad.1 pt
b
Calcule A−1A^{-1} para a=−1a = -1.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x−ay=1ax−4y−z=22x+ay−z=a−4\begin{cases} x - ay = 1 \\ ax - 4y - z = 2 \\ 2x + ay - z = a - 4 \end{cases}
a
Discuta el sistema para los diferentes valores de aa.1 pt
b
Resuelva el sistema para a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 m31\,\text{m}^3 del tipo A necesita 60 kg60\,\text{kg} de tierra vegetal y 3030 horas de trabajo. Para elaborar 1 m31\,\text{m}^3 del tipo B necesita 50 kg50\,\text{kg} de tierra vegetal y 5050 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg21000\,\text{kg} de tierra vegetal y 1500015000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 5050 € y 6060 € por cada metro cúbico de tipo B.
a
Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.1 pt
b
Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida porf(x)=ax2−3x2−5f(x) = \frac{ax^2 - 3}{x^2 - 5}
a
Calcule el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) tenga una asíntota horizontal en y=−1y = -1.1 pt
b
Para a=1a = 1, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y los extremos relativos, si existen.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se considera la función real de variable realf(x)={6x2x2+1si x<12m+ln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{6x}{2x^2 + 1} & \text{si } x < 1 \\ 2m + \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a
Estudie los valores del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) sea continua en x=1x = 1 y calcule la derivada de la función para x<1x < 1.1 pt
b
Halle el área de la región del plano limitada por la curva y=f(x)y = f(x), las rectas x=−1x = -1 y x=0x = 0 y el eje OXOX.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Dada la función real de variable realf(x)=e2x+xf(x) = e^{2x} + x
a
Determine la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=0x = 0.1 pt
b
Calcule ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sean AA y BB sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(A∣B)=14P(A|B) = \frac{1}{4}, P(B)=16P(B) = \frac{1}{6} y P(A)=23P(A) = \frac{2}{3}. Calcule:
Datos
  • S‾\overline{S} denota el suceso complementario del suceso SS
a
P(A∪B‾)P(A \cup \overline{B}).1 pt
b
P((A‾∩B)∪(B‾∩A))P((\overline{A} \cap B) \cup (\overline{B} \cap A)).1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
En un instituto se decide que los alumnos y alumnas solo pueden utilizar un único color (azul o negro) al realizar los exámenes. Dos de cada tres exámenes están escritos en azul. La probabilidad de que un examen escrito en azul sea de una alumna es de 0,70{,}7. La probabilidad de que un examen esté escrito en negro y sea de un alumno es 0,20{,}2. Se elige un examen al azar. Determine la probabilidad de que
a
Sea el examen de un alumno.1 pt
b
Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
El peso de una patata, en gramos (g), de una remesa que llega a un mercado se puede aproximar por una variable aleatoria XX con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=60,9\sigma = 60{,}9.
a
Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu sea menor que 20 g20\,\text{g}, con un nivel de confianza del 95 %95\,\%.1 pt
b
Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n=100n = 100, calcule el valor de la media μ\mu para que P(X‾≤220)=0,9940P(\overline{X} \leq 220) = 0{,}9940.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Una persona se ha propuesto salir a caminar todos los días realizando el mismo recorrido y cronometrando el tiempo que tarda en completarlo. El tiempo que está caminando por este recorrido puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal cuya desviación típica es 1010 minutos.
a
Utilizando la información de una muestra aleatoria simple, se ha obtenido el intervalo de confianza (26,9,37,1)(26{,}9, 37{,}1), expresado en minutos, para estimar el tiempo medio que tarda en realizar el recorrido, μ\mu, con un nivel de confianza del 98,92 %98{,}92\,\%. Obtenga el tamaño de la muestra elegida y el valor de la media muestral.1 pt
b
Si el tiempo medio para completar el recorrido es μ=30\mu = 30 minutos, calcule la probabilidad de que, en una muestra de 1616 días elegidos al azar, esta persona tarde entre 2525 y 3535 minutos de media para completar el recorrido.1 pt
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