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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2020

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Dada la matriz A=(25aa3)A = \begin{pmatrix} 2 & 5a \\ a & 3 \end{pmatrix} con a∈Ra \in \mathbb{R}
a)1 pts
Determine los valores del parámetro aa para los que se verifica la igualdad A2−5A=−IA^2 - 5A = -I, donde II es la matriz identidad.
b)1 pts
Calcule A−1A^{-1} para a=−1a = -1.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}: {x−ay=1ax−4y−z=22x+ay−z=a−4\begin{cases} x - ay = 1 \\ ax - 4y - z = 2 \\ 2x + ay - z = a - 4 \end{cases}
a)1 pts
Discuta el sistema para los diferentes valores de aa.
b)1 pts
Resuelva el sistema para a=3a = 3.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Un vivero elabora dos tipos de sustratos. Para elaborar 1 m31\,\text{m}^3 del tipo A necesita 60 kg60\,\text{kg} de tierra vegetal y 3030 horas de trabajo. Para elaborar 1 m31\,\text{m}^3 del tipo B necesita 50 kg50\,\text{kg} de tierra vegetal y 5050 horas de trabajo. El vivero dispone como máximo de 21000 kg21000\,\text{kg} de tierra vegetal y 1500015000 horas de trabajo. Además, la cantidad de metros cúbicos que elabora de tipo A debe ser como mucho cinco veces la cantidad de tipo B. Por la venta de cada metro cúbico de tipo A obtiene un beneficio de 5050 € y 6060 € por cada metro cúbico de tipo B.
a)1 pts
Represente la región del plano determinada por las restricciones anteriores y determine las coordenadas de sus vértices.
b)1 pts
Determine cuántos metros cúbicos de cada tipo deben elaborarse para, respetando las restricciones anteriores, maximizar el beneficio. Obtenga el valor del beneficio máximo.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Se considera la función real de variable real definida por f(x)=ax2−3x2−5f(x) = \frac{ax^2 - 3}{x^2 - 5}
a)1 pts
Calcule el valor del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) tenga una asíntota horizontal en y=−1y = -1.
b)1 pts
Para a=1a = 1, halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x) y los extremos relativos, si existen.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Se considera la función real de variable real f(x)={6x2x2+1si x<12m+ln⁡xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{6x}{2x^2 + 1} & \text{si } x < 1 \\ 2m + \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}
a)1 pts
Estudie los valores del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R} para que f(x)f(x) sea continua en x=1x = 1 y calcule la derivada de la función para x<1x < 1.
b)1 pts
Halle el área de la región del plano limitada por la curva y=f(x)y = f(x), las rectas x=−1x = -1 y x=0x = 0 y el eje OXOX.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Dada la función real de variable real f(x)=e2x+xf(x) = e^{2x} + x
a)1 pts
Determine la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=0x = 0.
b)1 pts
Calcule ∫01f(x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Sean AA y BB sucesos de un experimento aleatorio tales que: P(A∣B)=14P(A|B) = \frac{1}{4}, P(B)=16P(B) = \frac{1}{6} y P(A)=23P(A) = \frac{2}{3}. Calcule:
a)1 pts
P(A∪B‾)P(A \cup \overline{B}).
b)1 pts
P((A‾∩B)∪(B‾∩A))P((\overline{A} \cap B) \cup (\overline{B} \cap A)).
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
En un instituto se decide que los alumnos y alumnas solo pueden utilizar un único color (azul o negro) al realizar los exámenes. Dos de cada tres exámenes están escritos en azul. La probabilidad de que un examen escrito en azul sea de una alumna es de 0,70{,}7. La probabilidad de que un examen esté escrito en negro y sea de un alumno es 0,20{,}2. Se elige un examen al azar. Determine la probabilidad de que
a)1 pts
Sea el examen de un alumno.
b)1 pts
Sabiendo que está escrito en negro, sea de un alumno.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
El peso de una patata, en gramos (g), de una remesa que llega a un mercado se puede aproximar por una variable aleatoria XX con distribución normal de media μ\mu y desviación típica σ=60,9\sigma = 60{,}9.
a)1 pts
Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de μ\mu sea menor que 20 g20\,\text{g}, con un nivel de confianza del 95 %95\,\%.
b)1 pts
Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño n=100n = 100, calcule el valor de la media μ\mu para que P(X‾≤220)=0,9940P(\overline{X} \leq 220) = 0{,}9940.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Una persona se ha propuesto salir a caminar todos los días realizando el mismo recorrido y cronometrando el tiempo que tarda en completarlo. El tiempo que está caminando por este recorrido puede aproximarse por una variable aleatoria con distribución normal cuya desviación típica es 1010 minutos.
a)1 pts
Utilizando la información de una muestra aleatoria simple, se ha obtenido el intervalo de confianza (26,9,37,1)(26{,}9, 37{,}1), expresado en minutos, para estimar el tiempo medio que tarda en realizar el recorrido, μ\mu, con un nivel de confianza del 98,92 %98{,}92\,\%. Obtenga el tamaño de la muestra elegida y el valor de la media muestral.
b)1 pts
Si el tiempo medio para completar el recorrido es μ=30\mu = 30 minutos, calcule la probabilidad de que, en una muestra de 1616 días elegidos al azar, esta persona tarde entre 2525 y 3535 minutos de media para completar el recorrido.
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