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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2020Extraordinaria

Matemáticas II · Madrid 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente el examen, responda razonadamente cuatro preguntas cualesquiera a elegir entre las ocho que se proponen. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. TIEMPO Y CALIFICACIÓN: 90 minutos. Cada pregunta se calificará sobre 2.5 puntos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea A una matriz de tamaño 3×43 \times 4 tal que sus dos primeras filas son (1,1,1,1)(1, 1, 1, 1) y (1,2,3,4)(1, 2, 3, 4), y sin ningún cero en la tercera fila. En cada uno de los apartados siguientes, se pide poner un ejemplo de matriz A que verifique la condición pedida, justificándolo apropiadamente:
a
La tercera fila de A es combinación lineal de las dos primeras.0,5 pts
b
Las tres filas de A son linealmente independientes.0,5 pts
c
A es la matriz ampliada de un sistema compatible determinado.0,5 pts
d
A es la matriz ampliada de un sistema compatible indeterminado.0,5 pts
e
A es la matriz ampliada de un sistema incompatible.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Sean las matrices A=(0−1221−1101)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, I=(100010001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(2−11001)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Se pide:
a
Calcular, si es posible, la inversa de la matriz AA.1 pt
b
Calcular la matriz C=A2−2IC = A^2 - 2I.0,5 pts
c
Calcular el determinante de la matriz D=ABBtD = A B B^t (donde BtB^t denota la matriz traspuesta de BB).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dada la función f(x)={x−1x2−1si x<1,x≠−1x2+14xsi x≥1f(x) = \begin{cases} \frac{x - 1}{x^2 - 1} & \text{si } x < 1, x \neq -1 \\ \\ \frac{x^2 + 1}{4x} & \text{si } x \geq 1 \end{cases}, se pide:
a
Calcular f(0)f(0) y (f∘f)(0)(f \circ f)(0).0,5 pts
b
Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x)f(x) en x=1x = 1 y determinar si en dicho punto existe un extremo relativo.1,25 pts
c
Estudiar sus asíntotas.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
La potencia generada por una pila viene dada por la expresión P(t)=25te−t2/4P(t) = 25 t e^{-t^2/4}, donde t>0t > 0 es el tiempo de funcionamiento.
a
Calcular hacia qué valor tiende la potencia generada por la pila si se deja en funcionamiento indefinidamente.0,5 pts
b
Determinar la potencia máxima que genera la pila y el instante en el que se alcanza.0,75 pts
c
La energía total generada por la pila hasta el instante tt, E(t)E(t), se relaciona con la potencia mediante E′(t)=P(t)E'(t) = P(t), con E(0)=0E(0) = 0. Calcular la energía producida por la pila entre el instante t=0t = 0 y el instante t=2t = 2.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Dados el punto P(3,3,0)P(3, 3, 0) y la recta r≡x−2−1=y1=z+10r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{0}, se pide:
a
Escribir la ecuación del plano que contiene al punto PP y a la recta rr.0,75 pts
b
Calcular el punto simétrico de PP respecto de rr.1 pt
c
Hallar dos puntos AA y BB de rr tales que el triángulo ABPABP sea rectángulo, tenga área 32\frac{3}{\sqrt{2}} y el ángulo recto en AA.0,75 pts
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Del paralelogramo ABCDABCD, se conocen los vértices consecutivos A(1,0,−1)A(1, 0, -1), B(2,1,0)B(2, 1, 0) y C(4,3,−2)C(4, 3, -2). Se pide:
a
Calcular una ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento ACAC y es perpendicular a los segmentos ACAC y BCBC.1 pt
b
Hallar las coordenadas del vértice DD y el área del paralelogramo resultante.1 pt
c
Calcular el coseno del ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Se tienen tres urnas A, B y C. La urna A contiene 4 bolas rojas y 2 negras, la urna B contiene 3 bolas de cada color y la urna C contiene 6 bolas negras. Se elige una urna al azar y se extraen de ella dos bolas de manera consecutiva y sin reemplazamiento. Se pide:
a
Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.1 pt
b
Calcular la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja y la segunda sea negra.1 pt
c
Sabiendo que la primera bola extraída es roja, calcular la probabilidad de que la segunda sea negra.0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
En un experimento aleatorio hay dos sucesos independientes X,YX, Y. Sabemos que P(X)=0,4P(X) = 0{,}4 y que P(X∩Yˉ)=0,08P(X \cap \bar{Y}) = 0{,}08 (donde Yˉ\bar{Y} es el suceso complementario de YY). Se pide:
a
Calcular P(Y)P(Y).1 pt
b
Calcular P(X∪Y)P(X \cup Y).0,5 pts
c
Si XX es un resultado no deseado, de manera que consideramos que el experimento es un éxito cuando NO sucede XX, y repetimos el experimento en 8 ocasiones, hallar la probabilidad de haber tenido éxito al menos 2 veces.1 pt
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