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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá resolver CuAtro de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones sobre matrices:
a
Encuentra todas las matrices XX que conmutan con la matrizA=(201−1), A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, es decir, que verifican que AX=XAAX = XA.1,5 pts
b
¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con AA y cuyo determinante valga 4?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones:
a
Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?1,5 pts
b
Calcula razonadamente el siguiente límite:lim⁡x→+∞(x+1x)x2+1x\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 1}{x} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la curva f(x)=a−x2f(x) = a - x^2.
a
Responde a las siguientes cuestiones sobre la curva:1,5 pts
a.1
¿Qué valores puede tomar a∈Ra \in \mathbb{R} para que la curva f(x)=a−x2f(x) = a - x^2 corte al eje de abscisas (eje OX) en dos puntos y, por tanto, delimite con dicho eje un recinto cerrado?0,5 pts
a.2
Encuentra razonadamente a∈Ra \in \mathbb{R} para que el área de dicho recinto valga 36.1 pt
b
Resuelve la siguiente integral:∫2x1+3x2dx\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}} dxEl cambio de variable t=1+3x2t = 1 + 3x^2 te puede ayudar.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean las rectasr≡{x=2λy=−λz=a,s≡{x=−1y=μz=−5μr \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -\lambda \\ z = a \end{cases}, s \equiv \begin{cases} x = -1 \\ y = \mu \\ z = -5\mu \end{cases}donde λ\lambda y μ\mu son los parámetros y a∈Ra \in \mathbb{R}.
a
Estudia su posición relativa en función de los valores que toma aa.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente un plano que contenga a ss y que sea paralelo a rr.1 pt
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones de geometría y análisis:
a
Expresa razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos π1≡x=y+1\pi_1 \equiv x = y + 1 y π2≡y+2z=5\pi_2 \equiv y + 2z = 5.1,25 pts
b
Enuncia el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentra razonadamente el punto al que alude dicho teorema para la función f(x)=3/x2f(x) = 3/x^2 en el intervalo [1,3][1, 3]. Interpreta geométricamente lo hallado.1,25 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones sobre sistemas y matrices:
a
Estudia el rango de la matriz MM en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R} siendoM=(2m01210m41m2) M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix} 1,5 pts
b
Sean los planos π1≡2x+my=1\pi_1 \equiv 2x + my = 1, π2≡2x+y=m\pi_2 \equiv 2x + y = m y π3≡4x+y+mz=2\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2. Estudia su posición relativa según los valores de mm. Puedes utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones de geometría y probabilidad:
a
Sean los vectores u⃗=(1,1,1)\vec{u} = (1, 1, 1) y v⃗=(1,0,1)\vec{v} = (1, 0, 1). Calcula el plano que pasa por el punto A=(0,0,1)A = (0, 0, 1) y con vector normal el producto vectorial de u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v}.1,25 pts
b
El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90% de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60% cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80%.1,25 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?0,5 pts
b.2
Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?0,75 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Responde a las siguientes cuestiones de probabilidad y estadística:
a
Se calcula que una quinta parte de los niños españoles presentan algún tipo de intolerancia alimentaria. En el comedor de una cantina escolar los niños se sientan al azar en mesas de 4 comensales.1,25 pts
a.1
¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?0,5 pts
a.2
Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, en esa mesa se sirve pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?0,75 pts
b
El peso de los paquetes de 1 kg de arroz que comercializa determinada marca sigue una distribución normal de 1000 g1000\,\text{g} de media y 25 g25\,\text{g} de desviación típica.1,25 pts
b.1
¿Cuántos pesarán más de un kilo?0,5 pts
b.2
¿Cuánto pesará el más ligero del 70% de los que más pesan?0,75 pts
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