Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2022

Encuentra todas las matrices $X$ que conmutan con la matriz $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix},$$ es decir, que verifican que $AX = XA$.

¿Existe alguna matriz simétrica que conmute con $A$ y cuyo determinante valga 4?

Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda. ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50?

Calcula razonadamente el siguiente límite: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x + 1}{x} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Responde a las siguientes cuestiones sobre la curva:

Resuelve la siguiente integral: $$\int \frac{2x}{\sqrt{1 + 3x^2}} dx$$ El cambio de variable $t = 1 + 3x^2$ te puede ayudar.

Estudia su posición relativa en función de los valores que toma $a$.

Encuentra razonadamente un plano que contenga a $s$ y que sea paralelo a $r$.

Expresa razonadamente en forma de ecuaciones paramétricas la recta intersección de los planos $\pi_1 \equiv x = y + 1$ y $\pi_2 \equiv y + 2z = 5$.

Enuncia el teorema del valor medio del cálculo integral. Encuentra razonadamente el punto al que alude dicho teorema para la función $f(x) = 3/x^2$ en el intervalo $[1, 3]$. Interpreta geométricamente lo hallado.

Estudia el rango de la matriz $M$ en función del parámetro $m \in \mathbb{R}$ siendo $$M = \begin{pmatrix} 2 & m & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & m \\ 4 & 1 & m & 2 \end{pmatrix}$$

Sean los planos $\pi_1 \equiv 2x + my = 1$, $\pi_2 \equiv 2x + y = m$ y $\pi_3 \equiv 4x + y + mz = 2$. Estudia su posición relativa según los valores de $m$. Puedes utilizar los resultados obtenidos en el apartado anterior.

Sean los vectores $\vec{u} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v} = (1, 0, 1)$. Calcula el plano que pasa por el punto $A = (0, 0, 1)$ y con vector normal el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90% de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60% cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80%.

Se calcula que una quinta parte de los niños españoles presentan algún tipo de intolerancia alimentaria. En el comedor de una cantina escolar los niños se sientan al azar en mesas de 4 comensales.

El peso de los paquetes de 1 kg de arroz que comercializa determinada marca sigue una distribución normal de $1000\,\text{g}$ de media y $25\,\text{g}$ de desviación típica.