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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2018Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2018

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla binomial y tabla N(0,1) como anexo.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Después de la administración por vía oral de un fármaco, la concentración de este en sangre sigue el modelo: C(t)=at2e−btC(t) = a t^2 e^{-bt}, donde t∈[0,+∞)t \in [0, +\infty) es el tiempo en horas transcurridas desde la administración y a,b∈R+a, b \in \mathbb{R}^+.
a
Determina los valores de aa y bb para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto (2,8e−2)(2, 8e^{-2}).1,5 pts
b
Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. Nota: A largo plazo se entiende como que t→+∞t \to +\infty.1 pt
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a
Determina razonadamente el punto (x,y)(x, y) de la parábola y=x2+1y = x^2 + 1 en el que la suma de sus coordenadas alcanza su mínimo valor.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la parábola dada en el punto de abscisa x=−1/2x = -1/2.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Dada la funciónf(x)={x2+ax−1si x<0bx−1si x≥0 f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{x - 1} & \text{si } x < 0 \\ bx - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}
a
Calcula razonadamente los parámetros aa y bb para que f(x)f(x) sea derivable en todo R\mathbb{R}.1,5 pts
b
Calcula razonadamente el parámetro bb para que ∫12f(x) dx=4\int_1^2 f(x) \, dx = 4.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Calcula razonadamente las siguientes integrales:
a
∫x3−2x2+x−1x2−3x+2 dx\int \frac{x^3 - 2x^2 + x - 1}{x^2 - 3x + 2} \, dx1,25 pts
b
∫x2sen⁡(2x) dx\int x^2 \operatorname{sen}(2x) \, dx1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.{x−y−z=1x+2y+z=−4x−4y−3z=a2−3 \begin{cases} x - y - z = 1 \\ x + 2y + z = -4 \\ x - 4y - 3z = a^2 - 3 \end{cases}
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}.1,5 pts
b
Resuélvelo razonadamente para el valor a=−3a = -3.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Dadas las matricesA=(1−301)yI=(1001) A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Halla razonadamente dos parámetros aa y bb tales que A2=aA+bIA^2 = aA + bI.1,25 pts
b
Calcula razonadamente todas las matrices XX que verifican que (A−X)(A+X)=A2−X2(A - X)(A + X) = A^2 - X^2.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Dados los puntos A(−1,3,0)A(-1, 3, 0), B(2,0,−1)B(2, 0, -1) y la recta rr intersección de los planos α≡x−2y−6=0\alpha \equiv x - 2y - 6 = 0 y β≡2y+z=0\beta \equiv 2y + z = 0
a
Calcula la distancia del punto AA a la recta rr.0,75 pts
b
Encuentra razonadamente el punto de la recta rr cuya distancia al punto AA sea mínima.0,75 pts
c
Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por AA y BB sea paralelo a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Dados los puntos A(−1,2,0)A(-1, 2, 0), B(1,0,−4)B(1, 0, -4) y la rectar≡{x=1−λy=λz=3+λλ∈R. r \equiv \begin{cases} x = 1 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \qquad \lambda \in \mathbb{R}.
a
Calcula razonadamente un punto CC de la recta rr que forme con AA y BB un triángulo isósceles con el lado desigual en ABAB.1,5 pts
b
Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta rr y al vector AB⃗\vec{AB} y que pase por el punto AA.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
a
En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el 20 %, B el 10 % y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el 5 %, de las de B el 4 % y de las de C el 2 %. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:1,25 pts
a1
No salgan defectuosas.0,75 pts
a2
Si resultó defectuosa, que fuera suministrada por B.0,5 pts
b
Una parte de un examen consta de cinco preguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha parte, contestando al azar, cuando:1,25 pts
b1
Cada respuesta tiene dos ítems, solamente uno verdadero.0,75 pts
b2
Cada respuesta tiene cuatro ítems, solamente uno verdadero.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
a
En una clase el 80 % aprueba la asignatura de Biología, el 70 % aprueba la asignatura de Matemáticas y el 60 % aprueba Biología y Matemáticas.1,25 pts
a1
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe alguna de las asignaturas?0,75 pts
a2
Si se elige un estudiante y ha aprobado Biología, ¿cuál es la probabilidad de que también haya aprobado Matemáticas?0,5 pts
b
Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que cada vez descargue 25 cl25\,\text{cl} de media. Si la cantidad de líquido dispensado sigue una distribución normal de varianza 4:1,25 pts
b1
Calcula razonadamente la probabilidad de que descargue entre 2222 y 28 cl28\,\text{cl}.0,75 pts
b2
Calcula razonadamente la capacidad mínima de los vasos que se usen, redondeada a cl, para que la probabilidad de que se derrame el líquido sea inferior al 2,5 %2{,}5\,\%.0,5 pts
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