Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2018

Determina los valores de $a$ y $b$ para que el modelo de la concentración tenga un extremo relativo en el punto $(2, 8e^{-2})$.

Según el modelo anterior, ¿a qué valor tiende la concentración de este fármaco a largo plazo? Interpreta el resultado. Nota: A largo plazo se entiende como que $t \to +\infty$.

Determina razonadamente el punto $(x, y)$ de la parábola $y = x^2 + 1$ en el que la suma de sus coordenadas alcanza su mínimo valor.

Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de la parábola dada en el punto de abscisa $x = -1/2$.

Calcula razonadamente los parámetros $a$ y $b$ para que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$.

Calcula razonadamente el parámetro $b$ para que $\int_1^2 f(x) \, dx = 4$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$.

Resuélvelo razonadamente para el valor $a = -3$.

Halla razonadamente dos parámetros $a$ y $b$ tales que $A^2 = aA + bI$.

Calcula razonadamente todas las matrices $X$ que verifican que $(A - X)(A + X) = A^2 - X^2$.

Calcula la distancia del punto $A$ a la recta $r$.

Encuentra razonadamente el punto de la recta $r$ cuya distancia al punto $A$ sea mínima.

Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que pasando por $A$ y $B$ sea paralelo a la recta $r$.

Calcula razonadamente un punto $C$ de la recta $r$ que forme con $A$ y $B$ un triángulo isósceles con el lado desigual en $AB$.

Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a la recta $r$ y al vector $\vec{AB}$ y que pase por el punto $A$.

En una tienda de lámparas tienen tres proveedores A, B y C. A suministra el 20 %, B el 10 % y C el resto. De las lámparas de A salen defectuosas el 5 %, de las de B el 4 % y de las de C el 2 %. Elegida una lámpara al azar de la tienda, calcula razonadamente la probabilidad de:

Una parte de un examen consta de cinco preguntas tipo test. Se aprueba dicha parte si contestas correctamente al menos tres preguntas. Calcula razonadamente la probabilidad de aprobar dicha parte, contestando al azar, cuando:

En una clase el 80 % aprueba la asignatura de Biología, el 70 % aprueba la asignatura de Matemáticas y el 60 % aprueba Biología y Matemáticas.

Un dispensador de cierto refresco está regulado de manera que cada vez descargue $25\,\text{cl}$ de media. Si la cantidad de líquido dispensado sigue una distribución normal de varianza 4: