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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2025

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen consta de cuatro preguntas. Cada pregunta tiene una valoración de 2,5 puntos. La primera pregunta es obligatoria, mientras que en las tres últimas se deberá elegir entre Opción 1 y Opción 2, respondiendo únicamente a una de las dos. En caso de contestar cuestiones de ambas opciones, solo se corregirá la opción que aparezca en primer lugar en el tríptico. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las opciones elegidas en las preguntas 2, 3 y 4. (Si no se indica, y se han respondido dos opciones de una misma pregunta, sólo se corregirá la opción que se haya respondido en primer lugar). Justifica los pasos realizados para llegar a la solución obtenida.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere contruir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,0,1/2)B(2,0,1/2) y C(3/2,3,1)C(3/2,3,1) y el vértice superior, DD, se encuentra en una viga recta entre los puntos E(0,1,3)E(0,1,3) y F(3,2,3)F(3,2,3) (es decir, D=E+λEF⃗D = E + \lambda \vec{EF} con λ∈[0,1]\lambda \in [0, 1]).
a
Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros).1,5 pts
b
Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde DD a la base) si tomásemos λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Elija entre 2.1 y 2.2 (solo uno).

Dado el sistema de ecuaciones lineales:{x+2y−z=−18x+my−6z=−8−x−2y+m2z=m\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + my - 6z = -8 \\ -x - 2y + m^2z = m \end{cases}con m∈Rm \in \mathbb{R} un parámetro.
a
Estudia, en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}, el número de soluciones del sistema anterior.1,5 pts
b
Resuelve, si es posible, el sistema para m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Elija entre 2.1 y 2.2 (solo uno).

Sea A=(1100010000−11000−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a
Estudia si existen matrices columna no nulas BB y CC tales que{A⋅B=−BA⋅C=B−C\begin{cases} A \cdot B = -B \\ A \cdot C = B - C \end{cases}En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices BB y CC.1,5 pts
b
Sea DD una matriz columna no nula tal que A⋅D=DA \cdot D = D. Demuestra que también se cumple A−1⋅D=DA^{-1} \cdot D = D.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Elija entre 3.1 y 3.2 (solo uno).

a
Dada la función f(x)=2+sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = 2 + \sen(x)\cos(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}, calcula f′(x)f'(x).0,5 pts
b
Obtén ∫cos⁡2(x)−sen⁡2(x)2+sen⁡(x)cos⁡(x)dx\int \frac{\cos^2(x) - \sen^2(x)}{2 + \sen(x)\cos(x)} dx1 pt
c
Calcula (si existe), en función del valor de k∈Zk \in \mathbb{Z}, el valor del límitelim⁡x→1(x4+x3−x2−x)(x2−1)2k\lim_{x \to 1} \frac{(x^4 + x^3 - x^2 - x)}{(x^2 - 1)^{2k}}1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Elija entre 3.1 y 3.2 (solo uno).

Sea g(x)=x−sen⁡(x)g(x) = x - \sen(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}.
a
Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de g(x)g(x).0,5 pts
b
Obtén los máximos y mínimos absolutos de g(x)g(x) en el intervalo [π/2,π][\pi/2, \pi].0,5 pts
c
Calcula el área delimitada por la gráfica de la función h(x)=xg(x)h(x) = x g(x), el eje XX y las rectas x=π/2x = \pi/2 y x=πx = \pi.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Elija entre 4.1 y 4.2 (solo uno).

Dentro de un estudio sobre la brecha que existe en el acceso de las mujeres a las carreras del ámbito de las STEM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas) se está analizando el caso de Teruel. La Universidad de Zaragoza cuenta con 3 centros en Teruel: la Facultad de Ciencias Sociales, la Escuela Universitaria Politécnica y la Escuela Universitaria de Enfermería. En el curso 2024-2025 se matricularon en esos centros 1550, 250 y 150 estudiantes, respectivamente. Además, en la Facultad de Ciencias Sociales el 74 % de los estudiantes son mujeres, en la Politécnica lo son solo el 18 % y en Enfermería el 76 %. Colabora con el estudio y contesta las siguientes preguntas:
a
Si se elige un estudiante universitario en Teruel, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?1 pt
b
Sabiendo que la escogida es mujer ¿cuál es la probabilidad de que dicha estudiante esté matriculada en la Escuela Politécnica?1 pt
c
Si el estudiante escogido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la Escuela Politécnica?0,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Elija entre 4.1 y 4.2 (solo uno).

El beneficio mensual de dos empresas locales puede aproximarse por dos variables aleatorias con distribución normal. La media y la desviación típica, en euros, de ambas distribuciones es la siguiente: Hay dos inversores que quieren invertir parte de sus ahorros en una de estas dos empresas.
EmpresaMediaDesviación típica
PI S.A.11125527
RHO M.A.10950430
a
El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?1,25 pts
b
El segundo inversor, con un perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir?1,25 pts
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