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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2025

7 ejercicios

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere contruir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos A(0,0,0)A(0,0,0), B(2,0,1/2)B(2,0,1/2) y C(3/2,3,1)C(3/2,3,1) y el vértice superior, DD, se encuentra en una viga recta entre los puntos E(0,1,3)E(0,1,3) y F(3,2,3)F(3,2,3) (es decir, D=E+λEF⃗D = E + \lambda \vec{EF} con λ∈[0,1]\lambda \in [0, 1]).
a)1,5 pts
Calcula el volumen máximo de dicha estructura (todos los datos están dados en metros).
b)1 pts
Teniendo en cuenta que el volumen de una pirámide es un tercio del área de la base por la altura, calcula la altura de la estructura (desde DD a la base) si tomásemos λ=1\lambda = 1.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos

Elija entre 2.1 y 2.2 (solo uno).

Dado el sistema de ecuaciones lineales: {x+2y−z=−18x+my−6z=−8−x−2y+m2z=m\begin{cases} x + 2y - z = -1 \\ 8x + my - 6z = -8 \\ -x - 2y + m^2z = m \end{cases} con m∈Rm \in \mathbb{R} un parámetro.
a)1,5 pts
Estudia, en función del parámetro m∈Rm \in \mathbb{R}, el número de soluciones del sistema anterior.
b)1 pts
Resuelve, si es posible, el sistema para m=1m = 1.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos

Elija entre 2.1 y 2.2 (solo uno).

Sea A=(1100010000−11000−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Estudia si existen matrices columna no nulas BB y CC tales que {A⋅B=−BA⋅C=B−C\begin{cases} A \cdot B = -B \\ A \cdot C = B - C \end{cases} En caso afirmativo, calcula la expresión general de dichas matrices BB y CC.
b)1 pts
Sea DD una matriz columna no nula tal que A⋅D=DA \cdot D = D. Demuestra que también se cumple A−1⋅D=DA^{-1} \cdot D = D.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos

Elija entre 3.1 y 3.2 (solo uno).

a)0,5 pts
Dada la función f(x)=2+sen⁡(x)cos⁡(x)f(x) = 2 + \sen(x)\cos(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}, calcula f′(x)f'(x).
b)1 pts
Obtén ∫cos⁡2(x)−sen⁡2(x)2+sen⁡(x)cos⁡(x)dx\int \frac{\cos^2(x) - \sen^2(x)}{2 + \sen(x)\cos(x)} dx
c)1 pts
Calcula (si existe), en función del valor de k∈Zk \in \mathbb{Z}, el valor del límite lim⁡x→1(x4+x3−x2−x)(x2−1)2k\lim_{x \to 1} \frac{(x^4 + x^3 - x^2 - x)}{(x^2 - 1)^{2k}}
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos

Elija entre 3.1 y 3.2 (solo uno).

Sea g(x)=x−sen⁡(x)g(x) = x - \sen(x) con x∈Rx \in \mathbb{R}.
a)0,5 pts
Estudia intervalos de crecimiento y decrecimiento de g(x)g(x).
b)0,5 pts
Obtén los máximos y mínimos absolutos de g(x)g(x) en el intervalo [π/2,π][\pi/2, \pi].
c)1,5 pts
Calcula el área delimitada por la gráfica de la función h(x)=xg(x)h(x) = x g(x), el eje XX y las rectas x=π/2x = \pi/2 y x=πx = \pi.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos

Elija entre 4.1 y 4.2 (solo uno).

Dentro de un estudio sobre la brecha que existe en el acceso de las mujeres a las carreras del ámbito de las STEM (ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas) se está analizando el caso de Teruel. La Universidad de Zaragoza cuenta con 3 centros en Teruel: la Facultad de Ciencias Sociales, la Escuela Universitaria Politécnica y la Escuela Universitaria de Enfermería. En el curso 2024-2025 se matricularon en esos centros 1550, 250 y 150 estudiantes, respectivamente. Además, en la Facultad de Ciencias Sociales el 74 % de los estudiantes son mujeres, en la Politécnica lo son solo el 18 % y en Enfermería el 76 %. Colabora con el estudio y contesta las siguientes preguntas:
a)1 pts
Si se elige un estudiante universitario en Teruel, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
b)1 pts
Sabiendo que la escogida es mujer ¿cuál es la probabilidad de que dicha estudiante esté matriculada en la Escuela Politécnica?
c)0,5 pts
Si el estudiante escogido es hombre, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculado en la Escuela Politécnica?
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos

Elija entre 4.1 y 4.2 (solo uno).

El beneficio mensual de dos empresas locales puede aproximarse por dos variables aleatorias con distribución normal. La media y la desviación típica, en euros, de ambas distribuciones es la siguiente: Hay dos inversores que quieren invertir parte de sus ahorros en una de estas dos empresas.
EmpresaMediaDesviación típica
PI S.A.11125527
RHO M.A.10950430
a)1,25 pts
El primer inversor, con perfil agresivo, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener un beneficio mensual superior a 10000 euros sea mayor. ¿En qué empresa debe invertir?
b)1,25 pts
El segundo inversor, con un perfil más conservador, quiere invertir en la empresa cuya probabilidad de tener pérdidas a lo largo de un mes sea menor. ¿En qué empresa debe invertir?
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