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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2022

8 ejercicios

Instrucciones

1. Debe escoger solo cuatro ejercicios elegidos entre los ocho de los que consta el examen. Si realiza más de cuatro ejercicios solo se coregirán los cuatro primeros, según el orden que aparecen resul tos en el cuadernillo de examen. 3. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 5. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro tt.{tx+y−2z=0x+y−tz=−1x+y+z=t\begin{cases} tx + y - 2z = 0 \\ x + y - tz = -1 \\ x + y + z = t \end{cases}
a
Determine para qué valores de tt el sistema tiene solución única. Resuélvalo para t=0t = 0 si es posible.1 pt
b
Determine para qué valores de tt el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso.1 pt
c
Determine para qué valores de tt el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Una imprenta debe diseñar un cartel con 18 m218\,\text{m}^2 de área para texto y además, con margen superior 3 cm3\,\text{cm}, inferior 2 cm2\,\text{cm} y márgenes laterales 4 cm4\,\text{cm} cada uno.
a
Realice un dibujo planteando el problema.0,25 pts
b
Calcule las dimensiones (anchura y altura) que debe tener el cartel de manera que se utilice la menor cantidad de papel posible.2,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice. Considere el triángulo de vértices A=(1,1,3)A = (1, 1, 3), B=(5,−3,1)B = (5, -3, 1) y C=(3,1,5)C = (3, 1, 5).
a
Calcule las ecuaciones de las tres medianas del triángulo ABCABC.1,5 pts
b
Compruebe que las tres medianas se cortan en un punto y calcule las coordenadas de dicho punto.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
En un almacén, el peso de los contenedores sigue una distribución normal con media 100 kg100\,\text{kg} y desviación típica 10 kg10\,\text{kg}. Cada contenedor se carga individualmente en un montacargas, que tiene una capacidad de 115 kg115\,\text{kg}. Si el peso del contenedor supera dicha capacidad, salta una alarma. Se coloca en el montacargas un contenedor escogido al azar.
a
Calcule la probabilidad de que salte la alarma.1,25 pts
b
Calcule cuál debería ser la capacidad del montacargas para que la alarma salte solo en un 1%1\% de las veces que cargamos un contenedor al azar.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean las matrices:A=(23−1−2),B=(−1−312)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}
a
Compruebe que las matrices AA y BB son regulares.0,5 pts
b
Calcule las matrices inversas de AA y BB.0,5 pts
c
Despeje XX en la ecuación matricial AXB=At−3BAXB = A^t - 3B en donde AtA^t denota la matriz traspuesta de AA.0,75 pts
d
Calcule XX.0,75 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considere la función f(x)=x2e−xf(x) = x^2 e^{-x}.
a
Calcule lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \to +\infty} f(x) y lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).1 pt
b
Calcule la derivada primera de f(x)f(x).0,5 pts
c
Determine los extremos relativos de f(x)f(x).0,5 pts
d
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Los puntos A=(2,0,0)A = (2, 0, 0) y B=(−1,12,4)B = (-1, 12, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice se encuentra en la rectar={4x+3z=33y=0r = \begin{cases} 4x + 3z = 33 \\ y = 0 \end{cases}
a
Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que la recta perpendicular a rr pasa por los puntos AA y CC.1,5 pts
b
Determine el ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.0,5 pts
c
Calcule el área del triángulo ABCABC.0,5 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En una urna hay 4 bolas, una de ellas blanca y las otras tres negras. Sacamos una bola al azar sin devolverla a la urna y sacamos una segunda bola también al azar.
a
Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de distinto color.1 pt
b
Calcule la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.1 pt
c
Calcule la probabilidad de sacar una bola negra en la segunda extracción, si sabemos que la primera bola fue negra.0,5 pts
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