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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSNavarraPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Navarra 2023

6 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Elija tres de los seis ejercicios siguientes

Ejercicio 1

1
10 puntos
i
Clasifique el siguiente sistema en función del número de soluciones y resuélvalo utilizando el método de Gauss.{x+y+3z=14x+3y+5z=52x+y−z=3\begin{cases} x + y + 3z = 1 \\ 4x + 3y + 5z = 5 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}7 pts
ii
Sean las matrices A=(3−112)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} y B=(−4−2k−6)B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ k & -6 \end{pmatrix}. Determine el valor que debe tomar el parámetro kk para que el producto de ambas matrices conmute.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Una empresa utiliza dos máquinas distintas (M1M_1 y M2M_2) para fabricar tres tipos de láminas de acero (rayada, lisa y doblemente rayada). Una hora de trabajo de la máquina M1M_1 fabrica 1010 metros de lámina rayada, 5050 metros de lámina lisa y 1010 metros de lámina doblemente rayada. Una hora de trabajo de la máquina M2M_2 fabrica 4040 metros de lámina rayada, 2020 metros de lámina lisa y 1010 metros de lámina doblemente rayada. Cada hora de trabajo de las máquinas M1M_1 y M2M_2 tiene un coste de 800800 euros y 100100 euros, respectivamente. Sabiendo que la empresa tiene una demanda diaria de al menos 240240 metros de lámina rayada, 300300 metros de lámina lisa y 120120 metros de lámina doblemente rayada, calcule cuántas horas deberá trabajar al día cada máquina para minimizar el coste de fabricación.
i
Plantee el problema.4 pts
ii
Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema.4 pts
iii
Analice gráficamente qué ocurriría si la demanda diaria de la lámina de acero lisa aumenta en 100100 metros más respecto de la demanda actual.2 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considere las funciones f(x)=x+3f(x) = x + 3 y g(x)=−x2+4x+3g(x) = -x^2 + 4x + 3.
i
Calcule la derivada de la función g(x)g(x) en el punto x=1x = 1, aplicando la definición de derivada.3 pts
ii
Dibuje el recinto del plano comprendido entre las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x). Calcule el área de dicho recinto.7 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
El beneficio (en miles de euros) de una pequeña empresa de Navarra varía según la función: B(t)={−t2+8t+4si 0≤t≤72t−3si 7<t≤10B(t) = \begin{cases} -t^2 + 8t + 4 & \text{si } 0 \leq t \leq 7 \\ 2t - 3 & \text{si } 7 < t \leq 10 \end{cases} siendo tt el tiempo transcurrido en meses.
i
¿Cuál es el beneficio inicial de la empresa?1 pt
ii
Estudie la continuidad de B(t)B(t), clasificando en su caso los puntos de discontinuidad.3 pts
iii
¿En qué mes se alcanza el beneficio máximo? ¿Cuál es ese beneficio máximo?3 pts
iv
Represente la gráfica de la evolución del beneficio de esta empresa.3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
i
En un concurso se dispone de dos urnas. En la primera urna hay 1515 bolas, 66 de ellas premiadas con un viaje, 55 bolas con un premio de 1.0001.000 euros y 44 bolas sin premio. La segunda urna tiene 1010 bolas (33 con viaje, 44 con 1.0001.000 euros y 33 sin premio). Un concursante tiene que seleccionar al azar una bola de la primera urna e introducirla en la segunda urna. Tras esto, el concursante tiene que elegir una bola al azar de la segunda urna. Calcule la probabilidad de que la bola seleccionada no tenga premio.5 pts
ii
En una universidad se realizó una encuesta a los estudiantes acerca de sus hábitos de alimentación y ejercicio físico. El 40%40\% realizaban 55 comidas al día y el 70%70\% de los estudiantes hacían ejercicio físico regularmente. El 80%80\% de los estudiantes que realizaban 55 comidas al día hacían ejercicio físico regularmente. Se selecciona un estudiante al azar.5 pts
ii.1
Calcule la probabilidad de que ni realice 55 comidas al día ni haga ejercicio físico regularmente.3 pts
ii.2
Compruebe si los sucesos "comer 5 comidas al día" y "hacer ejercicio físico regularmente" son o no sucesos independientes.2 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
El salario mensual (en euros) de los jóvenes de un país A sigue una distribución normal con varianza 40.000 euros240.000\,\text{euros}^2, mientras que el salario mensual de los jóvenes de un país B sigue una distribución normal con desviación típica 300 euros300\,\text{euros}. Se tomó una muestra de 169169 jóvenes del país A y se obtuvo un salario mensual medio de 1.200 euros1.200\,\text{euros}. A partir de una muestra de 4949 jóvenes del país B, se calculó un salario mensual medio de 1.600 euros1.600\,\text{euros}.
i
Calcule un intervalo de confianza para el salario mensual medio de los jóvenes del país A y otro para el salario mensual medio de los jóvenes del país B, ambos con un nivel de confianza del 88%88\%. Interprete las soluciones en el contexto del problema.5 pts
ii
Con los datos de la muestra del país B se ha calculado otro intervalo de confianza para el salario mensual medio: [1.525,1.675][1.525, 1.675]. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.5 pts
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