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la cuevadel empollón
Matemáticas IICataluñaPAU 2012Ordinaria

Matemáticas II · Cataluña 2012

12 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Responda a CINCO de las seis cuestiones siguientes. En las respuestas, explique siempre qué quiere hacer y por qué. Cada cuestión vale 2 puntos. Puede utilizar calculadora, pero no se autorizará el uso de calculadoras u otros aparatos que lleven información almacenada o que puedan transmitir o recibir información.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2 puntos
Serie 3
Diga para qué valor del parámetro mm los planosπ1:x−y+mz=1,π2:x−y+z=m y π3:my+2z=3\pi_{1}: x - y + m z = 1, \pi_{2}: x - y + z = m \text{ y } \pi_{3}: m y + 2 z = 3tienen como intersección una recta.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2 puntos
Serie 1
Dados los planos π1:3x+y−2z+15=0\pi_{1}: 3x + y - 2z + 15 = 0 y π2:x+y+2z−103=0\pi_{2}: x + y + 2z - 103 = 0:
a
Compruebe que son perpendiculares.1 pt
b
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano perpendicular a π1\pi_{1} y π2\pi_{2}, que pasa por el punto P=(1,3,2)P = (1, 3, 2).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2 puntos
Serie 3
Dadas la recta y=3x+by = 3x + b y la parábola y=x2y = x^2:
a
Calcule la abscisa del punto donde la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.1 pt
b
Calcule el valor del parámetro bb para que la recta sea tangente a la parábola.1 pt
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2 puntos
Serie 1
La gráfica de la función f(x)=x9−x2f(x) = x \sqrt{9 - x^2} es la siguiente:
Gráfica de la función f(x) en el primer cuadrante mostrando el punto de corte (a, 0).
a
Halle el punto de corte, (a,0)(a, 0), de la función con la parte positiva del eje OX.0,5 pts
b
Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de f(x)f(x) y el eje OX en el primer cuadrante.1,5 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2 puntos
Serie 3
Dados el plano π:x−y+2z−5=0\pi: x - y + 2z - 5 = 0 y la recta r:{x+y+z=02x−y+z=10r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases}:
a
Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.1 pt
b
Halle la ecuación continua de la recta ss contenida en el plano π\pi, que es perpendicular a la recta rr y corta a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2 puntos
Serie 1
Sea AA una matriz cuadrada de orden nn de manera que A2=OA^2 = O, en que OO es la matriz nula (la formada completamente por ceros).
a
Compruebe que (A+In)2=2A+In(A + I_{n})^2 = 2A + I_{n}.1 pt
b
Compruebe que las matrices B=In−AB = I_{n} - A y C=A+InC = A + I_{n} son la una inversa de la otra.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2 puntos
Serie 3
Dadas las matrices A=(32−11)A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} y B=(1−213)B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}:
a
Compruebe que se cumple la igualdad (A+B)(A−B)=A2−B2(A + B)(A - B) = A^2 - B^2.1 pt
b
¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas AA y BB del mismo orden? Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices AA y BB concretas.1 pt
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2 puntos
Serie 1
Un rectángulo está inscrito en el triángulo que tiene los lados en las rectas de ecuacionesy=x,x+y=8,y=0,y = x, \quad x + y = 8, \quad y = 0,y tiene un lado sobre la recta y=0y = 0. Halle sus vértices para que la superficie sea máxima.
Rectángulo inscrito en un triángulo formado por las rectas y=x, x+y=8 e y=0.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2 puntos
Serie 3
Un triángulo equilátero de vértices AA, BB y CC tiene los lados de 8 cm8\,\text{cm}. Situamos un punto PP sobre una de las alturas del triángulo, a una distancia xx de la base correspondiente.
Triángulo equilátero con un punto P situado en la altura a distancia x de la base.
a
Calcule la altura del triángulo de vértices AA, BB y CC.0,5 pts
b
Indique la distancia del punto PP a cada uno de los vértices (en función de xx).0,5 pts
c
Determine el valor de xx para que la suma de los cuadrados de las distancias del punto PP a cada uno de los tres vértices sea mínima.1 pt
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2 puntos
Serie 1
Conteste a las preguntas siguientes:
a
Explique razonadamente si una matriz de orden 3 y una matriz de orden 2 pueden tener el mismo determinante.1 pt
b
Considere las matrices siguientes:A=(11p11−p212p) y B=(1−1401p0p4)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & p \\ 1 & 1 - p & 2 \\ 1 & 2 & p \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & p \\ 0 & p & 4 \end{pmatrix}Calcule, si es posible, el valor del parámetro pp para que det⁡A=det⁡B\det A = \det B.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción A

6Opción A
2 puntos
Serie 3
Dados los puntos P=(1,0,0)P = (1, 0, 0), Q=(0,2,0)Q = (0, 2, 0), R=(0,0,3)R = (0, 0, 3) y S=(1,2,3)S = (1, 2, 3):
a
Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0) del plano que contiene los puntos PP, QQ y RR.1 pt
b
Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano).1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2 puntos
Serie 1
Sean π:x−3y+2z=1\pi: x - 3y + 2z = 1 y r:{3x+y=12x−y+mz=1r: \begin{cases} 3x + y = 1 \\ 2x - y + mz = 1 \end{cases}. Estudie su posición relativa según el valor del parámetro mm.
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