Matemáticas II · Cataluña 2012

Compruebe que son perpendiculares.

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano perpendicular a $\pi_{1}$ y $\pi_{2}$, que pasa por el punto $P = (1, 3, 2)$.

Calcule la abscisa del punto donde la recta tangente a la parábola es paralela a la recta dada.

Calcule el valor del parámetro $b$ para que la recta sea tangente a la parábola.

Halle el punto de corte, $(a, 0)$, de la función con la parte positiva del eje OX.

Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)$ y el eje OX en el primer cuadrante.

Calcule el punto de intersección entre el plano y la recta.

Halle la ecuación continua de la recta $s$ contenida en el plano $\pi$, que es perpendicular a la recta $r$ y corta a la recta $r$.

Compruebe que $(A + I_{n})^2 = 2A + I_{n}$.

Compruebe que las matrices $B = I_{n} - A$ y $C = A + I_{n}$ son la una inversa de la otra.

Compruebe que se cumple la igualdad $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

¿Es cierta esta igualdad para cualquier par de matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo orden? Responda razonadamente utilizando las propiedades generales de las operaciones entre matrices, sin utilizar matrices $A$ y $B$ concretas.

Calcule la altura del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$.

Indique la distancia del punto $P$ a cada uno de los vértices (en función de $x$).

Determine el valor de $x$ para que la suma de los cuadrados de las distancias del punto $P$ a cada uno de los tres vértices sea mínima.

Explique razonadamente si una matriz de orden 3 y una matriz de orden 2 pueden tener el mismo determinante.

Considere las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & p \\ 1 & 1 - p & 2 \\ 1 & 2 & p \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & p \\ 0 & p & 4 \end{pmatrix}$$ Calcule, si es posible, el valor del parámetro $p$ para que $\det A = \det B$.

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) del plano que contiene los puntos $P$, $Q$ y $R$.

Compruebe si los cuatro puntos son coplanarios (es decir, si los cuatro están contenidos en un mismo plano).