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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · Baleares 2022

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Instrucciones generales: No podéis leer el enunciado hasta que el profesor no os autorice. No os podéis mover del sitio para pedir dudas sobre el examen, sino que debéis hacerlo desde vuestro sitio. Durante el examen no está permitido emplear teléfono móvil (lo tendréis que tener apagado dentro de la bolsa), reloj ni cualquier otro dispositivo electrónico. Recordad pegar la etiqueta identificadora en la hoja de respuestas en los lugares indicados. Recordad que durante el examen no está permitido pasar ningún tipo de material a otra persona. Si termináis la prueba antes de que expire el tiempo asignado, debéis levantar el brazo para esperar instrucciones. Contestad de manera clara y razonada cuatro cuestiones cualesquiera, escogidas de entre las ocho propuestas. Disponéis de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total de puntos obtenidos entre 4. Solo se tendrán en cuenta las respuestas claramente justificadas y razonadas usando lenguaje matemático o no matemático, según corresponda. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Se permite utilizar calculadora científica básica. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables, ni de dispositivos con acceso a Internet o aparatos que puedan transmitir o almacenar información.

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sean las matrices:A=(011110100),B=(6−3−4−321−415),I=(100010001),\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 6 & -3 & -4 \\ -3 & 2 & 1 \\ -4 & 1 & 5 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},y λ\lambda un parámetro real cualquiera.
a
Calculad la matriz A−λIA - \lambda I.2 pts
b
Calculad la matriz (A−λI)2(A - \lambda I)^2.3 pts
c
Calculad, si existen, los valores del parámetro λ\lambda para los cuales se satisface la relación (A−λI)2=B(A - \lambda I)^2 = B.5 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Considerad el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro aa,{3x−2y=4ay=−3ax+3z=0\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ ay = -3 \\ ax + 3z = 0 \end{cases}
a
Discutid el sistema según el parámetro aa.4 pts
b
Para el valor del parámetro aa para el cual el sistema tiene solución, resolvedlo.6 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Considerad la función f(x)=e3x−2f(x) = e^{3x-2}.
a
Determinad las coordenadas del punto en el cual la tangente a la gráfica de la función y=f(x)y = f(x) tiene pendiente igual a 3/e3/e. Escribid la ecuación de esta recta tangente.4 pts
b
Calculad el lim⁡x→2/31−f(x)6x−4\lim_{x \to 2/3} \frac{1 - f(x)}{6x - 4}.2 pts
c
Haced un esbozo de la gráfica de la función y=f(x)y = f(x).2 pts
d
Calculad el área de la superficie acotada por la gráfica de la función y=f(x)y = f(x) y las rectas x=0x = 0 e y=1y = 1.2 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Dada la funciónf(x)={x2+a2x−4si x≤0,10x2+x+bsi x>0.f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + a}{2x - 4} & \text{si } x \leq 0, \\ 10x^2 + x + b & \text{si } x > 0. \end{cases}
a
Calculad la condición que deben cumplir los parámetros aa y bb para que la función y=f(x)y = f(x) sea continua.3 pts
b
Calculad f′(x)f'(x).4 pts
c
Hallad la condición y calculad los parámetros aa y bb para que la función y=f(x)y = f(x) sea derivable.3 pts
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Ejercicio 5

5
10 puntos
Del paralelogramo (cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos) ABCDABCD, se conocen los vértices consecutivos A(1,0,−1)A(1, 0, -1), B(2,1,0)B(2, 1, 0) y C(4,3,−2)C(4, 3, -2).
a
Calculad el coseno del ángulo que forman los vectores AB⃗\vec{AB} y AC⃗\vec{AC}.2 pts
b
Calculad las coordenadas del punto medio, MM, del segmento ACAC.2 pts
c
Calculad las coordenadas del vértice DD.4 pts
d
Calculad el área del paralelogramo ABCDABCD.2 pts
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Ejercicio 6

6
10 puntos
Dadas las rectasr≡{x+y=3,2x−z=1,s≡{x=1+λ,y=−λ,z=−4−λ,λ∈Rr \equiv \begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - z = 1, \end{cases} \quad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -\lambda, \\ z = -4 - \lambda, \end{cases} \lambda \in \mathbb{R}
a
Calculad una ecuación vectorial para la recta rr.2 pts
b
Calculad la posición relativa de las rectas rr y ss.3 pts
c
Calculad la ecuación general del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1).2 pts
d
Calculad la ecuación general del plano paralelo a la recta rr que contiene a la recta ss.3 pts
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Ejercicio 7

7
10 puntos
Dados dos sucesos AA y BB, se conocen las probabilidades siguientes: P(A)=0,7P(A) = 0{,}7; P(Bˉ)=0,4P(\bar{B}) = 0{,}4 y P(Aˉ∪Bˉ)=0,58P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0{,}58, donde Aˉ\bar{A} y Bˉ\bar{B} indican los sucesos contrarios (o complementarios) de AA y BB, respectivamente. Calculad las probabilidades siguientes:
a
P(Aˉ)P(\bar{A}), P(B)P(B) y P(A∩B)P(A \cap B). ¿Son AA y BB sucesos independientes?4 pts
b
P(A∪B)P(A \cup B).1 pt
c
P(B∩Aˉ)P(B \cap \bar{A}).3 pts
d
P(A/B)P(A/B) y P(A/Bˉ)P(A/\bar{B}).2 pts
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Ejercicio 8

8
10 puntos
El tiempo de duración de las actualizaciones de un cierto programa antivirus sigue una distribución estadística normal de media 8,88{,}8 meses con una desviación típica de 33 meses.
a
¿Qué porcentaje de las actualizaciones supera los 1010 meses?3 pts
b
¿Qué porcentaje de las actualizaciones se ha mantenido entre 77 y 1010 meses?3 pts
c
¿Para qué valor del parámetro cc se tiene que el intervalo (8,8−c,8,8+c)(8{,}8 - c, 8{,}8 + c) es el intervalo de tiempo de duración del 98%98\% de las actualizaciones?4 pts
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