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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2013Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2013

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:{λx+4y+12z=02x+y+4z=λλx+y+6z=0\begin{cases} \lambda x + 4y + 12z = 0 \\ 2x + y + 4z = \lambda \\ \lambda x + y + 6z = 0 \end{cases}
a
Determine los valores de λ\lambda para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única.1 pt
b
Resuelva el sistema, si es posible, cuando λ=4\lambda = 4 y cuando λ=0\lambda = 0.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Estudie la posición relativa de los planos:π:2x+3y−z=1\pi : 2x + 3y - z = 1π′:{x=λ+μy=1−μz=−1+2λ+μ\pi' : \begin{cases} x = \lambda + \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = -1 + 2\lambda + \mu \end{cases}1,25 pts
b
Encuentre la recta que pasa por el punto P=(0,1,1)P = (0, 1, 1) y es perpendicular al plano π′\pi'. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la función:f(x)=(x+2)2x2+4x+3f(x) = \frac{(x + 2)^2}{x^2 + 4x + 3}
a
Determine su dominio de definición.0,5 pts
b
Encuentre las asíntotas que tenga esa función.1 pt
c
Considere ahora la función:g(x)=(x+2)2x+3g(x) = \frac{(x + 2)^2}{x + 3}Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si existen.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Calcule:∫2312x2−4x+2dx\int_{2}^{3} \frac{1}{2x^2 - 4x + 2} dx1,25 pts
b
Determine el límite:lim⁡x→+∞1+2ln⁡(x)+[ln⁡(x)]2x[1+ln⁡(x)]\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 + 2\ln(x) + [\ln(x)]^2}{x[1 + \ln(x)]}1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean AA y BB las dos matrices siguientes:A=(a10011),B=(−210−13a)A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \\ 3 & a \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores de aa existe la inversa de ABAB y la de BABA?1 pt
b
Encuentre la inversa de la matriz:C=(233243234)C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por CC, se obtiene la identidad.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las rectas:r:x−1k=y−22=z−1,con k≠0r: \frac{x - 1}{k} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{-1}, \quad \text{con } k \neq 0s:{x−y−z=02x−y=1s: \begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x - y = 1 \end{cases}
a
Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diferentes valores de kk.2 pts
b
¿Existen valores de kk para los que las rectas son perpendiculares?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Considere las funciones:f(x)=x2+1yg(x)=3−x.f(x) = x^2 + 1 \quad \text{y} \quad g(x) = 3 - x.1,5 pts
a.1
Determine los puntos de corte de esas dos funciones.0,5 pts
a.2
Determine el área encerrada entre esas dos funciones.1 pt
b
Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función:h(x)=x6+2.h(x) = x^6 + 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Usando el cambio de variable t=ext = e^x, calcule:∫ex1−e−xdx\int \frac{e^x}{1 - e^{-x}} dx1,25 pts
b
Calcule:lim⁡x→+∞(x−1x+1)x\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{\sqrt{x}}1,25 pts
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