Matemáticas II · Aragón 2013

Determine los valores de $\lambda$ para los que el sistema de ecuaciones tiene solución única.

Resuelva el sistema, si es posible, cuando $\lambda = 4$ y cuando $\lambda = 0$.

¿Para qué valores de $a$ existe la inversa de $AB$ y la de $BA$?

Encuentre la inversa de la matriz: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Compruebe que cuando la matriz encontrada se multiplica por la izquierda por $C$, se obtiene la identidad.

Estudie la posición relativa de los planos: $$\pi : 2x + 3y - z = 1$$ $$\pi' : \begin{cases} x = \lambda + \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = -1 + 2\lambda + \mu \end{cases}$$

Encuentre la recta que pasa por el punto $P = (0, 1, 1)$ y es perpendicular al plano $\pi'$. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.

Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diferentes valores de $k$.

¿Existen valores de $k$ para los que las rectas son perpendiculares?

Determine su dominio de definición.

Encuentre las asíntotas que tenga esa función.

Considere ahora la función: $$g(x) = \frac{(x + 2)^2}{x + 3}$$ Encuentre sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos, si existen.

Considere las funciones: $$f(x) = x^2 + 1 \quad \text{y} \quad g(x) = 3 - x.$$

Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos, y los puntos de inflexión de la función: $$h(x) = x^6 + 2.$$

Calcule: $$\int_{2}^{3} \frac{1}{2x^2 - 4x + 2} dx$$

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1 + 2\ln(x) + [\ln(x)]^2}{x[1 + \ln(x)]}$$

Usando el cambio de variable $t = e^x$, calcule: $$\int \frac{e^x}{1 - e^{-x}} dx$$

Calcule: $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{\sqrt{x}}$$