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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2015

3 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sea λ\lambda un parámetro real cualquiera. Determine para qué valores de λ\lambda el sistema de ecuaciones que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:{2λx−2y−λz=2λx−y+z=53λx+4y+(λ−1)z=λ−5\begin{cases} 2 \lambda x - 2 y - \lambda z = 2 \\ \lambda x - y + z = 5 \\ 3 \lambda x + 4 y + (\lambda - 1) z = \lambda - 5 \end{cases}2 pts
b
Determine la inversa de la matriz:M=(123110120)M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Sean u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} dos vectores que satisfacen que ∣u⃗∣=5|\vec{u}| = 5, ∣v⃗∣=2|\vec{v}| = 2 y u⃗⋅v⃗=10\vec{u} \cdot \vec{v} = 10. Determine u⃗×v⃗\vec{u} \times \vec{v}.1 pt
b
Considere las rectas siguientes:r:{2x−y=0ax−z=0s:{x+by=3y+z=3r: \begin{cases} 2 x - y = 0 \\ a x - z = 0 \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} x + b y = 3 \\ y + z = 3 \end{cases}1 pt
b.1
Determine los valores de a≠0a \neq 0 y b≠0b \neq 0 para que las rectas sean paralelas.0,5 pts
b.2
¿Existen valores de a≠0a \neq 0 y b≠0b \neq 0 para que las rectas sean coincidentes?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Usando el cambio de variable t=ext = e^x, calcule:∫e3xe2x+3ex+2dx\int \frac{e^{3x}}{e^{2x} + 3e^x + 2} dx2 pts
b
Determine el límite siguiente:lim⁡x→π/2(11−sen⁡(x))cos⁡(x)sen⁡(x)\lim_{x \to \pi / 2} \left(\frac{1}{1 - \sen(x)}\right)^{\frac{\cos(x)}{\sen(x)}}1,5 pts
c
Determine la ecuación de la curva f(x)f(x) sabiendo que la recta tangente en x=3x = 3 es y=9x−13y = 9x - 13 y la derivada segunda verifica que f′′(x)=4f''(x) = 4, para cualquier valor de xx.1,5 pts
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Sea λ\lambda un parámetro real cualquiera y considere la matriz y vector siguientes:A=(30λ−5−λ−5λ03),X=(xyz)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & -\lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}2 pts
a.1
¿Para qué valores de λ\lambda existe la matriz inversa (A−2I)−1(\mathbf{A} - 2\mathbf{I})^{-1}, siendo I\mathbf{I} la matriz identidad de orden 3?1 pt
a.2
Si λ=0\lambda = 0, encuentre los valores de xx, yy, y zz que satisfacen la ecuaciónAX=2X+bdonde b=(1y1)\mathbf{A}\mathbf{X} = 2\mathbf{X} + \mathbf{b} \quad \text{donde } \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ y \\ 1 \end{pmatrix}1 pt
b
Sean F1,F2F_1, F_2 y F3F_3 la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz MM de orden 3×33 \times 3 cuyo determinante es −2-2. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: 5F1−F3,3F35F_1 - F_3, 3F_3 y F2F_2.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
a
Sea aa un parámetro real cualquiera. Dados los planos:π:3x+ay+2z−10=0,yπ′:x−y+az−5=0\pi: 3x + ay + 2z - 10 = 0, \quad \text{y} \quad \pi': x - y + az - 5 = 0¿Existen valores de aa para los que los planos sean paralelos?0,75 pts
b
Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta intersección de los planos:π:3x+2y+z=10,yπ′:4x−2y−8z=10\pi: 3x + 2y + z = 10, \quad \text{y} \quad \pi': 4x - 2y - 8z = 10que pasa por el punto (1,1,0)(1, 1, 0).1,25 pts
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Ejercicio 3

3
5 puntos
a
Sea f(x)=x2e1/x2f(x) = x^2 e^{1/x^2}3 pts
a.1
Determine el dominio de f(x)f(x).0,5 pts
a.2
Determine, si existen, las asíntotas de f(x)f(x).1,5 pts
a.3
Determine, si existen, los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x).1 pt
b
Calcule:∫((x−1)2x+ln⁡(x)x2)dx\int \left(\frac{(x - 1)^2}{\sqrt{x}} + \frac{\ln(x)}{x^2}\right) dx2 pts
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