Matemáticas II · Aragón 2015

Sea $\lambda$ un parámetro real cualquiera. Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema de ecuaciones que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible: $$\begin{cases} 2 \lambda x - 2 y - \lambda z = 2 \\ \lambda x - y + z = 5 \\ 3 \lambda x + 4 y + (\lambda - 1) z = \lambda - 5 \end{cases}$$

Determine la inversa de la matriz: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

Sea $\lambda$ un parámetro real cualquiera y considere la matriz y vector siguientes: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & \lambda \\ -5 & -\lambda & -5 \\ \lambda & 0 & 3 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$

Sean $F_1, F_2$ y $F_3$ la primera, segunda y tercera filas, respectivamente, de una matriz $M$ de orden $3 \times 3$ cuyo determinante es $-2$. Calcule el determinante de una matriz cuyas filas primera, segunda y tercera son, respectivamente: $5F_1 - F_3, 3F_3$ y $F_2$.

Sean $\vec{u}$ y $\vec{v}$ dos vectores que satisfacen que $|\vec{u}| = 5$, $|\vec{v}| = 2$ y $\vec{u} \cdot \vec{v} = 10$. Determine $\vec{u} \times \vec{v}$.

Considere las rectas siguientes: $$r: \begin{cases} 2 x - y = 0 \\ a x - z = 0 \end{cases} \qquad \qquad s: \begin{cases} x + b y = 3 \\ y + z = 3 \end{cases}$$

Sea $a$ un parámetro real cualquiera. Dados los planos: $$\pi: 3x + ay + 2z - 10 = 0, \quad \text{y} \quad \pi': x - y + az - 5 = 0$$ ¿Existen valores de $a$ para los que los planos sean paralelos?

Encuentre la ecuación de la recta paralela a la recta intersección de los planos: $$\pi: 3x + 2y + z = 10, \quad \text{y} \quad \pi': 4x - 2y - 8z = 10$$ que pasa por el punto $(1, 1, 0)$.

Usando el cambio de variable $t = e^x$, calcule: $$\int \frac{e^{3x}}{e^{2x} + 3e^x + 2} dx$$

Determine el límite siguiente: $$\lim_{x \to \pi / 2} \left(\frac{1}{1 - \sen(x)}\right)^{\frac{\cos(x)}{\sen(x)}}$$

Determine la ecuación de la curva $f(x)$ sabiendo que la recta tangente en $x = 3$ es $y = 9x - 13$ y la derivada segunda verifica que $f''(x) = 4$, para cualquier valor de $x$.

Sea $f(x) = x^2 e^{1/x^2}$

Calcule: $$\int \left(\frac{(x - 1)^2}{\sqrt{x}} + \frac{\ln(x)}{x^2}\right) dx$$