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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2020

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales: {x−y+az=0x−z=02x+ay−2z=0\begin{cases} x - y + az = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}
a)1,2 pts
Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real aa.
b)0,8 pts
Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro a=−1a = -1.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea la matriz A=(a+1a−1a−3a−3)A = \begin{pmatrix} a + 1 & a - 1 \\ a - 3 & a - 3 \end{pmatrix}
a)0,5 pts
Indique para qué valores de aa existe la matriz inversa A−1A^{-1}.
b)1,5 pts
Si a=4a = 4, B=(2011)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, C=(1201)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, encuentre la matriz XX que verifica que B+XA=CB + XA = C.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea el plano π≡x−2y+2z+1=0\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0, la recta r≡{x−y+1=0z+1=0r \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases} y el punto A=(1,3,−1)A = (1, 3, -1). Hallar la ecuación del plano que pasa por AA, es paralelo a rr y perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el punto A=(1,0,−1)A = (1, 0, -1) y la recta r≡x−12=y−11=z−12r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}:
a)1,5 pts
Hallar un punto BB de la recta rr de forma que el vector AB⃗\vec{AB} sea paralelo al plano π≡x+2z=0\pi \equiv x + 2z = 0.
b)0,5 pts
Hallar un vector (a,b,c)(a, b, c) perpendicular a (1,0,−1)(1, 0, -1) y (2,1,0)(2, 1, 0).
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Representar gráficamente la función f(x)=xexf(x) = xe^x, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Demuestre que la ecuación x3−12x=−2x^3 - 12x = -2 tiene una solución en el intervalo [−2,2][-2, 2] y pruebe además que esa solución es única.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
a)1 pts
Calcular lim⁡x→0ex−cos⁡x−xex+sen⁡x−1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1}.
b)1 pts
Calcular ∫0π2(sen⁡x+cos⁡x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{sen} x + \cos x) dx.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a)0,5 pts
Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} y g(x)=3−xg(x) = 3 - x.
b)1,5 pts
Sabiendo que en el intervalo [1,2][1, 2] se verifica que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
El peso de los alumnos de 2∘2^{\circ} de bachillerato de un instituto de León, sigue una distribución normal, de media 7575 kg y de desviación típica 55. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:
a)1 pts
Tenga un peso entre 7070 y 8080 kg.
b)1 pts
Tenga un peso superior a 8585 kg.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,60{,}6, 0,30{,}3 y 0,10{,}1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,250{,}25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,40{,}4 para los de tonelaje medio y 0,60{,}6 para los de tonelaje alto.
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a)1 pts
Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento.
b)1 pts
Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio.
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