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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla y LeónPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · Castilla y León 2020

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno deberá escoger libremente CINCO problemas completos de los DIEZ propuestos. Se expresará claramente los elegidos. Si se resolvieran más, sólo se corregirán los 5 primeros que estén resueltos (según el orden de numeración de pliegos y hojas de cada pliego) y que no aparezcan totalmente tachados. 2.- CALCULADORA: Se permitirá el uso de calculadoras no programables (que no admitan memoria para texto ni representaciones gráficas). CRITERIOS GENERALES DE EVALUACIÓN: Los 5 ejercicios se puntuarán sobre un máximo de 2 puntos. Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: Correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se considera el sistema de ecuaciones lineales: {x−y+az=0x−z=02x+ay−2z=0\begin{cases} x - y + az = 0 \\ x - z = 0 \\ 2x + ay - 2z = 0 \end{cases}
a
Estudie la existencia y número de soluciones según los valores del parámetro real aa.1,2 pts
b
Resuélvalo, si es posible, para el valor del parámetro a=−1a = -1.0,8 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea la matriz A=(a+1a−1a−3a−3)A = \begin{pmatrix} a + 1 & a - 1 \\ a - 3 & a - 3 \end{pmatrix}
a
Indique para qué valores de aa existe la matriz inversa A−1A^{-1}.0,5 pts
b
Si a=4a = 4, B=(2011)B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, C=(1201)C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, encuentre la matriz XX que verifica que B+XA=CB + XA = C.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea el plano π≡x−2y+2z+1=0\pi \equiv x - 2y + 2z + 1 = 0, la recta r≡{x−y+1=0z+1=0r \equiv \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ z + 1 = 0 \end{cases} y el punto A=(1,3,−1)A = (1, 3, -1). Hallar la ecuación del plano que pasa por AA, es paralelo a rr y perpendicular a π\pi.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dados el punto A=(1,0,−1)A = (1, 0, -1) y la recta r≡x−12=y−11=z−12r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}:
a
Hallar un punto BB de la recta rr de forma que el vector AB⃗\vec{AB} sea paralelo al plano π≡x+2z=0\pi \equiv x + 2z = 0.1,5 pts
b
Hallar un vector (a,b,c)(a, b, c) perpendicular a (1,0,−1)(1, 0, -1) y (2,1,0)(2, 1, 0).0,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Representar gráficamente la función f(x)=xexf(x) = xe^x, calculando previamente sus extremos relativos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad y sus asíntotas.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Demuestre que la ecuación x3−12x=−2x^3 - 12x = -2 tiene una solución en el intervalo [−2,2][-2, 2] y pruebe además que esa solución es única.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
a
Calcular lim⁡x→0ex−cos⁡x−xex+sen⁡x−1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1}.1 pt
b
Calcular ∫0π2(sen⁡x+cos⁡x)dx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\operatorname{sen} x + \cos x) dx.1 pt
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Ejercicio 8

8
2 puntos
a
Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones f(x)=2xf(x) = \frac{2}{x} y g(x)=3−xg(x) = 3 - x.0,5 pts
b
Sabiendo que en el intervalo [1,2][1, 2] se verifica que g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x) calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo.1,5 pts
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Ejercicio 9

9
2 puntos
El peso de los alumnos de 2∘2^{\circ} de bachillerato de un instituto de León, sigue una distribución normal, de media 7575 kg y de desviación típica 55. Si se elige al azar un alumno, calcular la probabilidad de que:
a
Tenga un peso entre 7070 y 8080 kg.1 pt
b
Tenga un peso superior a 8585 kg.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es 0,60{,}6, 0,30{,}3 y 0,10{,}1, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es 0,250{,}25 para los barcos de bajo tonelaje, 0,40{,}4 para los de tonelaje medio y 0,60{,}6 para los de tonelaje alto.
Datos
  • F(x)=12π∫−∞xe−12t2dtF(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de la normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a
Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento.1 pt
b
Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio.1 pt
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