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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2011

6 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Sea el sistema de ecuaciones S:{x+y+z=m2x+3z=2m+1x+3y+(m−2)z=m−1 S: \begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3z = 2m + 1 \\ x + 3y + (m - 2)z = m - 1 \end{cases} donde mm es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a)4 pts
Todas las soluciones del sistema SS cuando m=2m = 2.
b)2 pts
Todos los valores de mm para los que el sistema SS tiene una solución única.
c)4 pts
El valor de mm para el que el sistema SS admite la solución (x,y,z)=(32,−12,0)(x, y, z) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se da la matriz A=(−1010m021m2−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 - 1 \end{pmatrix}, donde mm es un parámetro real.
a)5 pts
Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz AA en función de los valores de mm.
b)2 pts
Explicar por qué es invertible la matriz AA cuando m≠0m \neq 0 y m≠1m \neq 1.
c)3 pts
Obtener razonadamente la matriz inversa A−1A^{-1} de AA cuando m=1m = 1, indicando los distintos pasos para la obtención de A−1A^{-1}. Comprobar que los productos AA−1AA^{-1} y A−1AA^{-1}A dan la matriz unidad.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x+z=22x−y+z=0r: \begin{cases} x + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases} y s:{2x−y=3x−y−z=2s: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x - y - z = 2 \end{cases}. Obtener razonadamente:
a)3 pts
Un punto y un vector director de cada recta.
b)4 pts
La posición relativa de las rectas rr y ss.
c)3 pts
La ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x=λy=1−λz=3r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{cases} y s:x−1=y=z−3s: x - 1 = y = z - 3. Obtener razonadamente:
a)2 pts
Un vector director de cada una de dichas rectas rr y ss.
b)3 pts
La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (0,1,3)(0, 1, 3).
c)5 pts
El punto de intersección de las rectas rr y ss (2 puntos) y la ecuación del plano que contiene a estas rectas rr y ss (3 puntos).
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=xx2−3x+2f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}. Obtener razonadamente:
a)3 pts
El dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).
b)4 pts
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x).
c)3 pts
La integral ∫f(x)dx=∫xx2−3x+2dx\int f(x) dx = \int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Se desea construir un campo rectangular con vértices AA, BB, CC y DD de manera que: Los vértices AA y BB sean puntos del arco de la parábola y=4−x2y = 4 - x^2, −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2, y el segmento de extremos AA y BB es horizontal. Los vértices CC y DD sean puntos del arco de la parábola y=x2−16y = x^2 - 16, −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4, y el segmento de extremos CC y DD es también horizontal. Los puntos AA y CC deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo xx. Los puntos BB y DD deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo −x-x. Se pide obtener razonadamente:
a)4 pts
La expresión S(x)S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo xx.
b)4 pts
El número real positivo xx para el que el área S(x)S(x) es máxima.
c)2 pts
El valor del área máxima.
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