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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2011

3 ejercicios

Instrucciones

Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indebida (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea el sistema de ecuacionesS:{x+y+z=m2x+3z=2m+1x+3y+(m−2)z=m−1 S: \begin{cases} x + y + z = m \\ 2x + 3z = 2m + 1 \\ x + 3y + (m - 2)z = m - 1 \end{cases} donde mm es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a
Todas las soluciones del sistema SS cuando m=2m = 2.4 pts
b
Todos los valores de mm para los que el sistema SS tiene una solución única.2 pts
c
El valor de mm para el que el sistema SS admite la solución (x,y,z)=(32,−12,0)(x, y, z) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0).4 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x+z=22x−y+z=0r: \begin{cases} x + z = 2 \\ 2x - y + z = 0 \end{cases} y s:{2x−y=3x−y−z=2s: \begin{cases} 2x - y = 3 \\ x - y - z = 2 \end{cases}. Obtener razonadamente:
a
Un punto y un vector director de cada recta.3 pts
b
La posición relativa de las rectas rr y ss.4 pts
c
La ecuación del plano que contiene a rr y es paralelo a ss.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=xx2−3x+2f(x) = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}. Obtener razonadamente:
a
El dominio y las asíntotas de la función f(x)f(x).3 pts
b
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x)f(x).4 pts
c
La integral ∫f(x)dx=∫xx2−3x+2dx\int f(x) dx = \int \frac{x}{x^2 - 3x + 2} dx.3 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se da la matriz A=(−1010m021m2−1)A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 - 1 \end{pmatrix}, donde mm es un parámetro real.
a
Obtener razonadamente el rango o característica de la matriz AA en función de los valores de mm.5 pts
b
Explicar por qué es invertible la matriz AA cuando m≠0m \neq 0 y m≠1m \neq 1.2 pts
c
Obtener razonadamente la matriz inversa A−1A^{-1} de AA cuando m=1m = 1, indicando los distintos pasos para la obtención de A−1A^{-1}. Comprobar que los productos AA−1AA^{-1} y A−1AA^{-1}A dan la matriz unidad.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
En el espacio se dan las rectas r:{x=λy=1−λz=3r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 3 \end{cases} y s:x−1=y=z−3s: x - 1 = y = z - 3. Obtener razonadamente:
a
Un vector director de cada una de dichas rectas rr y ss.2 pts
b
La ecuación del plano perpendicular a la recta rr que pasa por el punto (0,1,3)(0, 1, 3).3 pts
c
El punto de intersección de las rectas rr y ss (2 puntos) y la ecuación del plano que contiene a estas rectas rr y ss (3 puntos).5 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se desea construir un campo rectangular con vértices AA, BB, CC y DD de manera que: Los vértices AA y BB sean puntos del arco de la parábola y=4−x2y = 4 - x^2, −2≤x≤2-2 \leq x \leq 2, y el segmento de extremos AA y BB es horizontal. Los vértices CC y DD sean puntos del arco de la parábola y=x2−16y = x^2 - 16, −4≤x≤4-4 \leq x \leq 4, y el segmento de extremos CC y DD es también horizontal. Los puntos AA y CC deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo xx. Los puntos BB y DD deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo −x-x. Se pide obtener razonadamente:
a
La expresión S(x)S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo xx.4 pts
b
El número real positivo xx para el que el área S(x)S(x) es máxima.4 pts
c
El valor del área máxima.2 pts
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